Primo teorema dell'angolo esterno

Il primo teorema dell'angolo esterno è uno dei principali teoremi della geometria euclidea^[1][2][3].

Enunciato

In qualsiasi triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti^[2][3].

Dimostrazione

Dato un triangolo ${\displaystyle ABC}$ qualsiasi, di base ${\displaystyle BC}$, si prolunga il lato ${\displaystyle BC}$ ad un punto ${\displaystyle K}$ appartenente alla stessa retta. Detto ${\displaystyle M}$ il punto medio del lato ${\displaystyle AC}$, si prolunga ${\displaystyle BM}$, dalla parte di ${\displaystyle M}$, di un segmento ${\displaystyle MN}$ congruente a ${\displaystyle BM}$ e si congiunge ${\displaystyle N}$ con ${\displaystyle C}$. Poiché ${\displaystyle N}$ è interno all'angolo AĈK, si può affermare che AĈK > AĈN. Per dimostrare la tesi basta allora dimostrare che BÂC è congruente a AĈN. Si considerano i due triangoli ${\displaystyle AMB}$ e ${\displaystyle CMN}$; essi hanno:

Dimostrazione del teorema dell'angolo esterno

• ${\displaystyle AM}$ congruente a ${\displaystyle MC}$ per costruzione;
• ${\displaystyle BM}$ congruente a ${\displaystyle MN}$ per costruzione;
• ${\displaystyle AMB}$ congruente a ${\displaystyle CMN}$ perché angoli opposti al vertice.

Dunque, ${\displaystyle AMB}$ e ${\displaystyle CMN}$ sono congruenti per il primo criterio; in particolare ${\displaystyle BAC}$ è congruente a ${\displaystyle MCN}$ e quindi ${\displaystyle BAC}$ è congruente a ${\displaystyle ACN}$. Per quanto osservato all'inizio, ciò conclude la dimostrazione^[2][3].