Piano complesso

In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è una rappresentazione bidimensionale dell'insieme dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse delle ascisse, detto per questo asse reale, e la parte immaginaria rappresentata sull'asse delle ordinate, detto quindi asse immaginario.

Rappresentazione grafica dei numeri complessi. L'asse Y mostra il coefficiente della parte immaginaria, l'asse X la parte reale del numero.

Storia

Il piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Carl Friedrich Gauss, per cui viene da alcuni anche definito piano di Gauss. Per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche definito piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 dal matematico norvegese-danese Caspar Wessel.

Uso

Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Sotto addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto (angolo dall'asse reale) è la somma degli angoli dei fattori.

I diagrammi di Argand sono frequentemente usati per graficare la posizione dei poli o di zeri di una funzione nel piano complesso.

Uso e notazioni

Un numero complesso può essere separato in parte reale e immaginaria:

${\displaystyle z=x+iy,}$

dove ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono numeri reali, e ${\displaystyle i}$ è l'unità immaginaria. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta reale euclidea. In questa notazione, il numero complesso ${\displaystyle z}$ corrisponde al punto ${\displaystyle (x,y)}$ del piano cartesiano. L'ascissa è data da ${\displaystyle x=\mathrm {Re} (z)}$ (la parte reale, l'asse delle ${\displaystyle x}$) e l'ordinata da ${\displaystyle y=\mathrm {Im} (z)}$ (la parte immaginaria, l'asse delle ordinate).

Nel piano cartesiano, il punto ${\displaystyle (x,y)}$ può anche essere rappresentato in coordinate polari come:

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

dove il modulo ${\displaystyle r}$ e la fase ${\displaystyle \theta }$ sono ricavate (per ${\displaystyle x>0}$) dalle formule

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arctan {\frac {y}{x}}.}$

Per il calcolo della fase si può usare la funzione arcotangente2.

Bibliografia

• (EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
• (EN) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis; Springer-Verlag(2005).

Voci correlate

• Numero complesso
• Rappresentazione dei numeri complessi
• Sfera di Riemann
• Trigonometria

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• piano complesso, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Piano complesso, su MathWorld, Wolfram Research.

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