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In geometria iperbolica, l'orosfera è una generalizzazione dell'orociclo (definito nel piano iperbolico) in dimensione arbitraria. Nella geometria iperbolica dello spazio, visualizzata nel modello del disco di Poincaré, l'orosfera è effettivamente una sfera, tangente alla sfera di bordo.
Sia lo spazio iperbolico di dimensione (ad esempio, ). Il modello del disco di Poincaré rappresenta come il disco unitario in :
Il bordo del disco può essere interpretato come la sfera dei "punti all'infinito":
In questo modello, una orosfera è una qualsiasi sfera -dimensionale contenuta in e tangente alla sfera dei punti all'infinito.
Per una orosfera è una circonferenza e viene chiamata orociclo.
Un'orosfera interseca il bordo del disco di Poincaré (i "punti all'infinito" del piano iperbolico) in un punto , detto centro. Due orosfere sono dette concentriche se intersecano il bordo del disco nello stesso punto .
Tramite una isometria dello spazio iperbolico è possibile spostare il punto a piacimento sulla sfera dei punti all'infinito. In particolare, è possibile usare il modello del semispazio
e spostare sul punto all'infinito. Le orosfere aventi come centro il punto all'infinito (in questo modello) sono precisamente gli iperpiani di equazione
al variare di .
Una retta dello spazio iperbolico che converge (in una delle sue direzioni) asintoticamente a è un raggio dell'orosfera. Valgono le proprietà seguenti.
dove sono segmenti di raggi tagliati da oricicli concentrici, e è una costante opportuna.
L'intersezione di una orosfera con un sottospazio i cui punti all'infinito contengono è a sua volta un'orosfera. Ad esempio, nello spazio iperbolico , l'intersezione di un orociclo con un piano i cui punti all'infinito contengono è un orociclo nel piano. Un tale piano può essere chiamato piano diametrale all'orosfera. Valgono le proprietà seguenti:
Valgono le proprietà seguenti:
Una orosfera fissata ha una sua geometria, che coincide con la geometria euclidea. Più precisamente, una orosfera contenuta nello spazio iperbolico risulta avere una geometria equivalente allo spazio euclideo -dimensionale .
Questa geometria può essere introdotta in vari modi. Da un punto di vista classico ed elementare, è sufficiente definire le rette in come gli orocicli contenuti in . Gli angoli fra due orocicli sono gli angoli formati dalle due rette (iperboliche) tangenti nel punto di intersezione. Vale il V postulato di Euclide, e quindi la geometria è euclidea.
Da un punto di vista più moderno, un orociclo è una sottovarietà differenziabile dentro alla varietà riemanniana , quindi ha una struttura indotta di varietà riemanniana (ottenuta restringendo il tensore metrico a ). La curvatura di questa metrica risulta essere nulla, e quindi la varietà è piatta e isometrica a . Per verificare questo fatto è sufficiente utilizzare il modello del semispazio e supporre che sia descritto da una equazione
per qualche . Nel modello del semispazio, il tensore metrico in un punto è pari a
dove è la matrice identità. In altre parole, è l'usuale tensore metrico euclideo riscalato di un fattore quadratico dipendente dall'altezza . I punti appartenenti ad una orosfera sono tutti alla stessa altezza : su questa il tensore metrico è quindi
ovvero il riscalamento di un fattore costante della metrica euclidea. L'orosfera è quindi isometrica a .
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