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metodo per il calcolo approssimato degli zeri di una funzione Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo che contiene una sola radice.
Il metodo consiste nel sostituire alla curva la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa del punto in cui la tangente interseca l'asse delle internamente all'intervallo .
Procedendo in modo iterativo si dimostra che la relazione di ricorrenza del metodo è
che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione . Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle converge alla radice piuttosto rapidamente.
Più in dettaglio, si dimostra che se dove è un opportuno intorno dello zero con e se allora
cioè la convergenza è quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché locale (cioè non vale per ogni ). Se invece la radice è multipla, cioè allora la convergenza è lineare (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita , il procedimento iterativo si fa terminare quando
Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che sia disponibile direttamente per un dato . Nei casi in cui questo non si verifichi e risultasse necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante.
Il matematico francese François Viète presentò nel 1600[1] un metodo, già noto nel 1427 da al-Kashi, per la ricerca degli zeri di un polinomio attraverso una perturbazione di una sua soluzione approssimata. Quattro anni dopo Newton venne a conoscenza del metodo di Viète e nel 1669 scoprí autonomamente un metodo per la ricerca degli zeri di un polinomio.
Come esempio mostra la seguente equazione una cui soluzione ha parte intera . Applicando la sostituzione si ricava il polinomio e trascurando i monomi di grado superiore al primo, ossia linearizzando il polinomio, si ottiene . Per cui si applica la sostituzione e si arriva a e per linearizzazione . Sostituendo e facendo lo stesso ragionamento si ricava . Da cui
Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:
Nel 1687, nel Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Newton applica per la prima volta il metodo ad un'equazione non polinomiale. È il caso dell'equazione dove indica l'anomalia media e l'anomalia eccentrica. In questo caso approssimando il seno come somma troncata del suo sviluppo in serie di Taylor Newton ricavava un polinomio e quindi poteva applicare il metodo da lui trovato.
Nel 1690 il matematico Joseph Raphson riuscì a ricavare un metodo iterativo per aggiornare la soluzione approssimata senza dover calcolare la potenza del monomio completa e nel 1740 Thomas Simpson, nel libro Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix's Mathematicks, Illustrated by a variey of Examples ricavò il moderno metodo delle tangenti riconoscendo il ruolo delle derivate prime nell'aggiornamento della soluzione.
Consideriamo una funzione undimensionale , e quindi per il teorema di Weierstrass la funzione ammette un minimo da determinare.
Per cui, preso un punto nell'intervallo, sfruttando la serie di Taylor di , si trova che
con compreso tra e
Per cui, se è sufficientemente piccolo, ossia , ponendo per trovare l'intersezione della retta tangente nel punto con l'asse delle , si ricava . Osservare che l'ultima relazione ha senso solo se non è nullo. Una volta trovato si reitera il procedimento. Si è trovato così il seguente algoritmo:
Metodo di Newton Unidimensionale * Passo 0: Si sceglie un punto nell'intervallo . Si pone Per * Passo 1: Si determina . * Passo 2: Poni e torna al Passo 1.
Come si è visto, condizione necessaria affinché il metodo sia applicabile è che esista un intervallo in cui è tale che e . Per il teorema degli zeri tale intervallo esiste se e solo se e .
Consideriamo una funzione e sia lo zero da determinare. Sfruttando lo sviluppo in serie di Taylor si ha che, preso un generico vettore :
dove indica la matrice jacobiana di calcolata nel punto .
Per cui, se non è singolare si ottiene un nuovo punto dove è la soluzione del sistema lineare .
Si è trovato così il seguente algoritmo:
Metodo di Newton multidimensionale * Passo 0: Si sceglie un punto . Si pone . Per * Passo 1: Si risolve ottenendo il vettore . * Passo 2: Si determina . * Passo 3: Si pone e si torna al Passo 1.
dove è un opportuno intorno della radice con e se
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