Maggiorante e minorante

In matematica, un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme. Per poter parlare di maggiore o uguale abbiamo bisogno di una relazione d'ordine, quindi l'insieme deve essere ordinato. È sempre meglio supporre che gli insiemi di cui si tratta siano sottoinsiemi di insiemi più grandi.

Sia ${\displaystyle (X,\leq )}$ un insieme ordinato e ${\displaystyle E\subseteq X,E\neq \emptyset }$; si dice che un elemento ${\displaystyle y\in X}$ è un maggiorante di ${\displaystyle E}$ se per ogni ${\displaystyle x\in E}$ si ha ${\displaystyle x\leq y}$.

Analogamente si definisce un minorante di un insieme ${\displaystyle E}$ come un elemento ${\displaystyle y\in X}$ tale che per ogni ${\displaystyle x\in E}$ si ha ${\displaystyle x\geq y}$.

Se ${\displaystyle E}$ ammette almeno un maggiorante (minorante) allora si dice che ${\displaystyle E}$ è un insieme limitato superiormente (inferiormente). Un insieme che possiede sia maggioranti che minoranti si dice limitato.

In informatica, per lo studio dei costi di un algoritmo si utilizzano i rispettivi termini inglesi upper bound e lower bound.

Esempi

• ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,E=\{1,2,3\}}$, allora i suoi maggioranti sono ${\displaystyle \{3,4,5,6,\ldots \}}$, notare che anche 3 è maggiorante. I suoi due minoranti sono 0 e 1.
• ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,E=\{1,2,3\}}$, i suoi maggioranti sono ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq 3\}}$ e i suoi minoranti ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\leq 1\}}$.
• ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,E=\mathbb {R} }$ non ha maggioranti né minoranti.
• Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme ${\displaystyle \{2,3,4,5,6\}}$ ammette come maggioranti 60 e 120; 60 è il minimo dei suoi maggioranti.
• Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme ${\displaystyle \{20,30,40\}}$ ammette come minoranti 2, 5 e 10; 10 è il massimo dei suoi minoranti.

Voci correlate

• Estremo superiore e estremo inferiore
• Limite superiore e limite inferiore

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