Logaritmo complesso

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Grafico del logaritmo complesso. L'altezza descrive la parte immaginaria del logaritmo, mentre l'angolo è determinato dal colore.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

${\displaystyle y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^{y}{\text{ con }}x\in \mathbb {R} ^{+},y\in \mathbb {R} .}$

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

${\displaystyle w=\ln(z)\Leftrightarrow z=e^{w}{\text{ con }}w,z\in \mathbb {C} ,}$

con l'unica condizione ${\displaystyle z\neq 0}$. Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per ${\displaystyle \ln(z)}$. Scrivendo ${\displaystyle z}$ in forma esponenziale

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta },}$

segue che

${\displaystyle \rho e^{i\theta }=z=e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\cdot e^{iv},}$

dove ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita ${\displaystyle \ln(z)}$. Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle |z|=\rho =e^{u}\Longrightarrow u=\ln |z|}$

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{iv}\Longrightarrow v=\arg(z)}$

Si può quindi scrivere

${\displaystyle \ln(z)=\ln |z|+i\arg(z).}$

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che ${\displaystyle \arg(z)}$ contiene tutti i numeri del tipo ${\displaystyle \theta +2k\pi }$, con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Curiosità sul logaritmo complesso

Ricordando l'Identità di Eulero: ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$, è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di ${\displaystyle \pi }$: applicando il logaritmo si ha infatti:

${\displaystyle \ln(e^{i\pi })=\ln(-1)}$

${\displaystyle i\pi =\ln(-1)}$

${\displaystyle \pi ={\frac {\ln(-1)}{i}}}$

${\displaystyle \pi =-i\ln(-1).}$

Il numero trascendente ${\displaystyle \pi }$ è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a ${\displaystyle -1}$:

${\displaystyle \ln(-1)=\ln \vert -1\vert +i\!{\text{ arg}}(-1)=\ln 1+i\pi =0+i\pi =i\pi }$

e si ricava nuovamente

${\displaystyle {\frac {\ln(-1)}{i}}=\pi .}$

Logaritmo principale

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

${\displaystyle {\text{Ln}}(z)=\ln |z|+i\arg(z){\mbox{ con }}-\pi <\arg(z)\leq \pi .}$

Il Logaritmo principale è analitico su tutto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a ${\displaystyle 2\pi }$).

Voci correlate

• Logaritmo
• Esponenziale complesso
• Funzione di variabile complessa
• Funzione polidroma

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica