S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
e
C
(
x
)
{\displaystyle C(x)}
sono funzioni dispari .
C
(
i
z
)
=
i
C
(
z
)
{\displaystyle C(iz)=iC(z)}
S
(
i
z
)
=
−
i
S
(
z
)
{\displaystyle S(iz)=-iS(z)}
Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari , salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:
lim
x
→
+
∞
S
(
x
)
=
lim
x
→
+
∞
C
(
x
)
=
1
2
.
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }S(x)=\lim _{x\to +\infty }C(x)={\frac {1}{2}}\,.}
Dimostrazione limite per x tendente all'infinito
Poiché gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati coi metodi tradizionali, una possibile dimostrazione di
∫
0
+
∞
cos
(
x
2
)
d
x
=
π
8
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos {(x^{2})}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}}
sfrutta l'analisi complessa e il risultato dell'integrale di Gauss
∫
0
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}
. L'integrale di partenza può essere scritto come parte reale di un numero complesso secondo quella che è la forma polare di un numero complesso:
∫
0
+
∞
cos
(
x
2
)
d
x
=
ℜ
(
∫
0
+
∞
e
i
x
2
d
x
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos {(x^{2})}\,dx=\Re {\left(\int _{0}^{+\infty }e^{ix^{2}}dx\right)}.}
Curva semplice chiusa
γ
{\displaystyle \gamma }
nel piano complesso, suddivisa in
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
,
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
e
γ
3
{\displaystyle \gamma _{3}}
.
Per calcolare il secondo integrale si sfrutta il teorema di Cauchy-Goursat scegliendo come cammino chiuso di integrazione la curva chiusa
γ
{\displaystyle \gamma }
suddivisibile nei tre tratti
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
,
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
e
γ
3
{\displaystyle \gamma _{3}}
come in figura:
∮
γ
e
i
z
2
d
z
=
∫
γ
1
e
i
z
2
d
z
+
∫
γ
2
e
i
z
2
d
z
+
∫
γ
3
e
i
z
2
d
z
=
0
.
{\displaystyle \oint _{\gamma }e^{iz^{2}}dz=\int _{\gamma _{1}}e^{iz^{2}}dz+\int _{\gamma _{2}}e^{iz^{2}}dz+\int _{\gamma _{3}}e^{iz^{2}}dz=0\,.}
Questa operazione si può fare perché la funzione
e
i
z
2
{\displaystyle e^{iz^{2}}}
è analitica in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, che è semplicemente connesso .
Nel piano complesso
γ
3
{\displaystyle \gamma _{3}}
ha equazione
z
=
r
e
i
ϑ
{\displaystyle z=re^{i\vartheta }}
, con
r
{\displaystyle r}
variabile; per ricondursi all'integrale della gaussiana si impone che l'inclinazione di tale retta sia tale che
i
z
2
=
i
(
r
e
i
ϑ
)
2
=
−
r
2
{\displaystyle iz^{2}=i{\left(re^{i\vartheta }\right)}^{2}=-r^{2}}
, ovvero
ϑ
=
π
4
{\displaystyle \vartheta ={\frac {\pi }{4}}}
. Il terzo integrale diventa quindi
∫
γ
3
e
i
z
2
d
z
=
∫
R
0
e
−
r
2
e
i
π
4
d
r
,
{\displaystyle \int _{\gamma _{3}}e^{iz^{2}}dz=\int _{R}^{0}e^{-r^{2}}e^{i{\frac {\pi }{4}}}\,dr\,,}
che per
x
{\displaystyle x}
, ovvero
R
→
+
∞
{\displaystyle R\rightarrow +\infty }
, vale
lim
R
→
+
∞
e
i
π
4
∫
R
0
e
−
r
2
d
r
=
−
e
i
π
4
π
2
.
{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }e^{i{\frac {\pi }{4}}}\int _{R}^{0}e^{-r^{2}}dr=-e^{i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,.}
La curva
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
può essere parametrizzata come
z
=
R
e
i
ϑ
{\displaystyle z=Re^{i\vartheta }}
, questa volta con
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
variabile. Il secondo integrale diventa
∫
γ
2
e
i
z
2
d
z
=
∫
0
π
4
e
i
R
2
e
2
i
ϑ
(
i
R
)
e
i
ϑ
d
ϑ
=
i
R
∫
0
π
4
e
i
R
2
cos
(
2
ϑ
)
+
i
ϑ
e
−
R
2
sin
(
2
ϑ
)
d
ϑ
.
{\displaystyle \int _{\gamma _{2}}e^{iz^{2}}dz=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{iR^{2}e^{2i\vartheta }}(iR)\,e^{i\vartheta }\,d\vartheta =iR\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{iR^{2}\cos {(2\vartheta )}+i\vartheta }e^{-R^{2}\sin {(2\vartheta )}}\,d\vartheta \,.}
Per
0
≤
ϑ
≤
π
4
{\displaystyle 0\leq \vartheta \leq {\frac {\pi }{4}}}
,
sin
(
2
ϑ
)
≥
0
{\displaystyle \sin {(2\vartheta )}\geq 0}
e
cos
(
2
ϑ
)
≥
0
{\displaystyle \cos {(2\vartheta )}\geq 0}
, e vale la disuguaglianza
sin
ϑ
>
2
π
ϑ
{\displaystyle \sin {\vartheta }>{\frac {2}{\pi }}\vartheta }
. Ponendo
2
ϑ
=
φ
{\displaystyle 2\vartheta =\varphi }
, è possibile fare la seguente maggiorazione:
0
≤
|
R
2
∫
0
π
2
e
i
R
2
cos
φ
+
i
φ
2
e
−
R
2
sin
φ
d
φ
|
≤
R
2
∫
0
π
2
|
e
i
R
2
cos
φ
+
i
φ
2
|
|
e
−
R
2
sin
φ
|
d
φ
=
R
2
∫
0
π
2
e
−
R
2
sin
φ
d
φ
≤
R
2
∫
0
π
2
e
−
R
2
2
π
φ
d
φ
=
−
π
4
R
(
e
−
R
2
−
1
)
,
{\displaystyle 0\leq \left|{\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{iR^{2}\cos {\varphi }+i{\frac {\varphi }{2}}}e^{-R^{2}\sin {\varphi }}\,d\varphi \right|\leq {\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left|e^{iR^{2}\cos {\varphi }+i{\frac {\varphi }{2}}}\right|\,\left|e^{-R^{2}\sin {\varphi }}\right|d\varphi ={\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R^{2}\sin {\varphi }}\,d\varphi \leq {\frac {R}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R^{2}{\frac {2}{\pi }}\varphi }\,d\varphi =-{\frac {\pi }{4R}}\left(e^{-R^{2}}-1\right),}
e dal teorema del confronto , segue che per
R
→
+
∞
{\displaystyle R\rightarrow +\infty }
il secondo integrale vale
0
{\displaystyle 0}
.
La curva
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
, infine, può essere parametrizzata come
z
=
x
=
R
{\displaystyle z=x=R}
. Dal teorema di Cauchy-Goursat
∫
0
+
∞
e
i
x
2
d
x
=
∫
γ
1
e
i
z
2
d
z
=
−
∫
γ
3
e
i
z
2
d
z
=
e
i
π
4
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{ix^{2}}dx=\int _{\gamma _{1}}e^{iz^{2}}dz=-\int _{\gamma _{3}}e^{iz^{2}}dz=e^{i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,.}
L'integrale di Fresnel cercato diventa perciò
∫
0
+
∞
cos
(
x
2
)
d
x
=
ℜ
(
∫
0
+
∞
e
i
x
2
d
x
)
=
ℜ
(
e
i
π
4
π
2
)
=
π
8
,
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos {(x^{2})}\,dx=\Re {\left(\int _{0}^{+\infty }e^{ix^{2}}\,dx\right)}=\Re {\left(e^{i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\right)}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\,,}
come volevasi dimostrare .
C
(
z
)
+
i
S
(
z
)
=
z
M
(
1
2
,
3
2
,
i
π
2
z
2
)
,
{\displaystyle C(z)+iS(z)=zM\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},i{\frac {\pi }{2}}z^{2}\right),}
dove
M
{\displaystyle M}
denota una funzione ipergeometrica confluente .
La relazione con la funzione degli errori è:
C
(
z
)
+
i
S
(
z
)
=
1
+
i
2
e
r
f
[
π
2
(
1
−
i
)
z
]
.
{\displaystyle C(z)+iS(z)={\frac {1+i}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(1-i)z\right].}
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