Integrale di Darboux

In analisi matematica, l'integrale di Darboux è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.

La definizione di integrale data da Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella data da Bernhard Riemann, tuttavia gli integrali definiti con il metodo di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann, in virtù dell'approccio più costruttivo della loro definizione.

Definizione

Si consideri una funzione continua ${\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}}$ in ${\displaystyle n}$ intervalli ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]\subset [a,b]}$.

Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo). Da notare che la funzione rappresentata nel grafico è stata scelta positiva solo per comodità.

Per ogni intervallo della partizione si definiscono le due quantità:

${\displaystyle \lambda _{k}:=\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x);\qquad \Lambda _{k}:=\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x).}$

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione ${\displaystyle f(x)}$ limitatamente all'intervallo ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]}$. Tali valori esistono per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di ${\displaystyle f}$ relativa alla partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, il numero reale:

${\displaystyle s({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).}$

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di ${\displaystyle f}$ relativa alla partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, il numero reale:

${\displaystyle S({\mathcal {P}},f):=\sum _{k=1}^{n}\Lambda _{k}(x_{k}-x_{k-1}).}$

Esiste un lemma che afferma che, data:

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M,\qquad \forall x\in [a,b],}$

allora per ogni coppia di partizioni ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,{\mathcal {Q}}}$ di ${\displaystyle [a,b]}$ si ha:

${\displaystyle m(b-a)\leq s({\mathcal {P}})\leq S({\mathcal {Q}})\leq M(b-a).}$

Al variare di ogni partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ di ${\displaystyle [a,b],}$ siano:

${\displaystyle \delta =\{s({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}};\qquad \Delta =\{S({\mathcal {P}})\}_{\mathcal {P}}.}$

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi ${\displaystyle \delta }$ e ${\displaystyle \Delta }$ sono separati, cioè:

${\displaystyle s\leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .}$

L'assioma di Dedekind sulla completezza di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ afferma allora che esiste almeno un numero reale ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ tale che:

${\displaystyle s\leq \xi \leq S,\qquad \forall s\in \delta ,\,\forall S\in \Delta .}$

Se vi è un unico elemento di separazione ${\displaystyle \xi }$ tra ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle S,}$ allora si dice che ${\displaystyle f(x)}$ è integrabile in secondo Darboux o Darboux-integrabile ${\displaystyle [a,b]}$ e l'elemento ${\displaystyle \xi }$ si indica con:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Integrale multiplo di Darboux

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale multiplo.

Sia ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{n}}$ un dominio normale, ${\displaystyle f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}}$ limitata e ${\displaystyle \mu }$ una misura. Sia ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}}$ una partizione di ${\displaystyle N}$ in domini normali.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di ${\displaystyle f}$ relativa alla partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, il numero reale:

${\displaystyle s({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\inf {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.}$

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di ${\displaystyle f}$ relativa alla partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, il numero reale:

${\displaystyle S({\mathcal {P}},f):=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,\sup {\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.}$

In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:

${\displaystyle \sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}\leq \inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}.}$

Pertanto ${\displaystyle f}$ si dice Darboux-integrabile in ${\displaystyle N}$ se ${\displaystyle \sup {\underset {\mathcal {P}}{(s({\mathcal {P}},f))}}=\inf {\underset {\mathcal {P}}{(S({\mathcal {P}},f))}}=\xi }$ e in tal caso si pone che:

${\displaystyle \int _{N}f(x)\,dx_{1}\dots dx_{n}:=\xi .}$

Proprietà degli integrali

Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

Darboux-integrabilità e Riemann-integrabilità

In generale una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue definite in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e siano ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Additività

Sia ${\displaystyle f}$ continua e definita in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e sia ${\displaystyle c\in [a,b]}$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

Monotonia

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue definite in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq \int _{a}^{b}g(x)dx.}$

Teorema del confronto

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue definite in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e tali che ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Valore assoluto

Sia ${\displaystyle f}$ integrabile in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, allora si ha:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.}$

Integrabilità in un sotto intervallo

Sia ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ integrabile e ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\subset [a,b].}$ Allora ${\displaystyle f}$ è integrabile in ${\displaystyle [\alpha ,\beta ].}$

Osservazione

Le proprietà sono state enunciate nella casistica in cui ${\displaystyle a<b.}$ Non tutte le proprietà enunciate valgono nel caso in cui gli estremi vengono scambiati ossia nel caso ${\displaystyle b<a;}$ in questa situazione molte delle proprietà enunciate necessitano un riadattamento.

Teorema della media integrale

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ è continua allora esiste ${\displaystyle c\in [a,b]}$ tale che:

${\displaystyle {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c).}$

Limitandosi ad integrali su intervalli di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, sia dato un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, con ${\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} }$.

Scrivendo ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{1}-x_{i}-1}$, se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale limitata definita su ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ una partizione di ${\displaystyle [a,b]}$ si pone:

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x),&m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x);\\&U({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i},&L({\mathcal {P}},f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i};\\&{\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U({\mathcal {P}},f),&{\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L({\mathcal {P}},f)\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle \inf ,\sup }$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di ${\displaystyle [a,b]}$ , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, ${\displaystyle f}$ si dice Riemann-integrabile (${\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b])}$), e si definisce l'integrale di Riemann di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle [a,b]}$ il valore comune dei due integrali:

${\displaystyle \int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx.}$

Dato che ogni funzione limitata esistono ${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} }$ tali che ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$ per ogni ${\displaystyle x\in [a,b]}$ si ha:

${\displaystyle m(b-a)\leq L({\mathcal {P}},f)\leq U({\mathcal {P}},f)\leq M(b-a)}$

gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Si mostra che ${\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b])}$ se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste una partizione ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ tale che ${\displaystyle U({\mathcal {P}},f)-({\mathcal {P}},f)<\varepsilon }$. Se tale condizione è verificata, allora:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon .}$

Bibliografia

• Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, capitolo 8.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996, capitolo 8.

Voci correlate

• Integrale di Riemann
• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Integrale di Lebesgue
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Integrale di Henstock-Kurzweil
• Integrale improprio

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Collegamenti esterni

• Darboux, integrale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Darboux Integral, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Darboux integral, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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