Identità vettoriali

Qui di seguito verranno presentate alcune identità vettoriali, cioè delle uguaglianze riguardanti campi vettoriali e campi scalari che risultano verificate indipendentemente dalle variabili scelte.

Queste relazioni risultano utili nei problemi di calcolo vettoriale, ad esempio nella derivazione delle onde elettromagnetiche a partire dalle equazioni di Maxwell.

Nel testo indicheremo con f, g i campi scalari e con A, B, C i campi vettoriali.

Identità vettoriali generiche

Triplo prodotto

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}$

da cui si ha

${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )}$

ed in particolare

${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=|\mathbf {A} |^{2}|\mathbf {B} |^{2}-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$

Proprietà degli operatori vettoriali

Proprietà distributiva

${\displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$

Proprietà del prodotto scalare

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

Proprietà del prodotto vettoriale

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \nabla \times \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }$

Prodotto tra scalari e vettori

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {A} )=\nabla f\cdot \mathbf {A} +f\nabla \cdot \mathbf {A} }$

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {A} )=\nabla f\times \mathbf {A} +f\nabla \times \mathbf {A} }$

Combinazione di operatori vettoriali

Divergenza del gradiente

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}.}$

L'operatore ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ viene detto operatore di Laplace (o laplaciano) e viene anche indicato con ${\displaystyle \Delta }$.

Rotore del gradiente

${\displaystyle \nabla \times \nabla f=0}$

Divergenza del rotore

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} =0}$

Rotore del rotore

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-{\nabla }^{2}\mathbf {F} }$

dove ${\displaystyle {\nabla }^{2}}$ indica il laplaciano vettoriale.

Altre identità

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {A} ^{2}=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$

Voci correlate

• Calcolo vettoriale
• Divergenza
• Gradiente
• Rotore (matematica)
• Teorema del rotore
• Teorema della divergenza

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