Identità di Lagrange

In algebra, l'identità di Lagrange è l'identità quadratica che coinvolge il prodotto vettoriale: ^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&{\biggl (}={1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )},\end{aligned}}}$

che si applica ad ogni coppia di insiemi {a₁, a₂, . . ., a_n} e {b₁, b₂, . . ., b_n} di numeri reali o complessi (o, più generalmente, di elementi di un anello commutativo). Questa identità è una forma speciale dell'identità di Binet–Cauchy.

Per numeri reali, l'identità si può scrivere in una notazione più compatta utilizzando il prodotto scalare, ^[3]

${\displaystyle \|{\bar {a}}\|^{2}\ \|{\bar {b}}\|^{2}-\|({\bar {a}}\cdot {\bar {b}})\|^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}$

dove a e b sono vettori n-dimensionali le cui componenti sono numeri reali. Questa identità può essere estesa al caso complesso, come ^[4][5]

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}.}$

Dal momento che la parte destra dell'identità è chiaramente non-negativa, essa implica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo finito-dimensionale ℝⁿ e la sua controparte complessa ℂⁿ.

Identità di Lagrange e algebra esterna

Utilizzando il prodotto esterno, l'identità di Lagrange può essere scritta nel modo seguente:

${\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}$

Quindi, può essere vista come una formula che dà la lunghezza del prodotto esterno di due vettori, che è l'area del parallelogrammo che essi delineano, in termini di prodotto scalare dei due vettori, come

${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.}$

Identità di Lagrange e calcolo vettoriale

Nelle tre dimensioni, l'identità di Lagrange asserisce che il quadrato dell'area di un parallelogrammo nello spazio è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni all'interno del sistema di coordinamento Cartesiano. Algebricamente, se a e b sono vettori in ℝ³ di lunghezza |a| e |b|, allora l'identità di Lagrange può essere scritta in termini del prodotto vettoriale e del prodotto scalare: ^[6][7]

${\displaystyle \|{\bar {a}}\|^{2}\ \|{\bar {b}}\|^{2}-\|({\bar {a}}\cdot {\bar {b}})\|^{2}=|{\bar {a}}\times {\bar {b}}|^{2}.}$

Usando la definizione di angolo basata sul prodotto scalare, la parte sinistra è

${\displaystyle |{\bar {a}}|^{2}|{\bar {b}}|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )=|{\bar {a}}|^{2}|{\bar {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta }$

dove θ è l'angolo formato dai vettori a e b. L'area del parallelogramma di lati |a| e |b| e di angolo θ si sa essere, secondo la geometria elementare,

${\displaystyle |{\bar {a}}|\,|{\bar {b}}|\,|\sin \theta |,}$

allora la parte sinistra dell'identità di Lagrange è il quadrato dell'area del parallelogramma. Il prodotto vettoriale che compare nella parte destra è definito da

${\displaystyle {\bar {a}}\times {\bar {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\bar {i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\bar {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\bar {k}}}$

che è un vettore le cui componenti sono uguali in magnitudine alle aree delle proiezioni del parallelogrammo all'interno dei piani yz, zx e xy, rispettivamente.