In analisi matematica , le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre , introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782 .[1] orbitali atomici , nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar , e nella caratterizzazione della radiazione di fondo . Nella grafica 3D , giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96 , il geoide standard di riferimento del WGS84 .
Dall'alto verso il basso: da l=0 a 4l,m e yl,-m sono equivalenti tra di loro ma ruotate di 90 gradi attorno all'asse z. Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari
θ
{\displaystyle \theta }
φ
{\displaystyle \varphi }
meccanica quantistica , nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo ), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.
Sia
n
^
{\displaystyle {\hat {n}}}
versore , quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate
(
θ
,
φ
)
.
{\displaystyle (\theta ,\varphi ).}
[
Y
l
m
(
n
^
)
]
⋆
=
(
−
1
)
m
Y
l
−
m
(
n
^
)
.
{\displaystyle \left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).}
Parità totale. Sotto inversione di tutte le coordinate
x
→
−
x
,
y
→
−
y
,
z
→
−
z
{\displaystyle x\to -x,y\to -y,z\to -z}
θ
→
π
−
θ
,
φ
→
φ
+
π
{\displaystyle \theta \to \pi -\theta ,\varphi \to \varphi +\pi }
l
{\displaystyle l}
P
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
=
Y
l
m
(
π
−
θ
,
φ
+
π
)
=
(
−
1
)
l
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle PY_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
Parità nel piano
x
y
{\displaystyle xy}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
m
{\displaystyle m}
P
x
y
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
=
Y
l
m
(
θ
,
φ
+
π
)
=
(
−
1
)
m
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle P_{xy}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
Parità lungo
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
z
→
−
z
{\displaystyle z\to -z}
P
z
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
=
Y
l
m
(
π
−
θ
,
φ
)
=
(
−
1
)
l
+
m
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle P_{z}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi )=(-1)^{l+m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
poiché
P
z
=
P
P
x
y
{\displaystyle P_{z}=P\,P_{xy}}
Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale
L
2
{\displaystyle L^{2}}
z
{\displaystyle z}
operatore parità :
Y
l
,
m
(
θ
,
φ
)
≡
⟨
θ
,
φ
|
l
,
m
⟩
.
{\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )\equiv \langle \theta ,\varphi |l,m\rangle .}
E si ha:
L
2
Y
l
m
=
l
(
l
+
1
)
ℏ
2
Y
l
m
{\displaystyle L^{2}Y_{l}^{m}={l(l+1)}\hslash ^{2}Y_{l}^{m}}
L
z
Y
l
m
=
m
ℏ
Y
l
m
.
{\displaystyle L_{z}Y_{l}^{m}=m\hslash Y_{l}^{m}.}
Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di
L
{\displaystyle L}
∇
Ω
2
=
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
=
−
1
ℏ
2
r
2
L
2
,
{\displaystyle \nabla _{\Omega }^{2}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}=-{\frac {1}{\hslash ^{2}r^{2}}}L^{2},}
possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere una costante del moto :
[
H
,
L
]
=
0.
{\displaystyle [H,L]=0.}
Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai numeri quantici dell'operatore momento angolare
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
θ
,
φ
{\displaystyle \theta ,\varphi }
coordinate sferiche .
Un resoconto storico può essere trovato in T.M. MacRobert, Capitolo IV Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications , Pergamon Press, 1967. David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.149 David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.408 David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.146
(EN Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-04-86-61272-0 . (capitolo 8 e capitolo 22 )Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen
John D Jackson, Elettrodinamica classica ed., Zanichelli, 2001, pp. 105-108, ISBN 978-88-08-09153-6 . Isaac Todhunter An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions [ collegamento interrotto ]
Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them
William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics.
Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2)
Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis
(EN spherical harmonic Enciclopedia Britannica
(EN Armoniche sferiche MathWorld
(EN Armoniche sferiche Encyclopaedia of Mathematics Trattazione analitica mathworld.wolfram.com . Trattazione analitica math.ohio-state.edu . URL consultato il 28 febbraio 2006 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006) . 
![{\displaystyle \left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8669025b341caa6f54a81956f66b97c1fce666a9)
![{\displaystyle [H,L]=0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debca8dbe28d5abe4c3b7f45bbf8159bdeb3170a)
