Formula di Frobenius

In matematica, più nello specifico nella teoria delle rappresentazioni, la formula di Frobenius, introdotta da G. Frobenius, calcola i caratteri di rappresentazioni irriproducibili del gruppo simmetrico S_n.

Statement

Sia ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ il carattere di una rappresentazione irriproducibile di un gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{n}}$ corrispondente ad una partizione ${\displaystyle \lambda }$ of n: ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$ e${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+k-j}$. Per ogni partizione ${\displaystyle \mu }$ din, ${\displaystyle C(\mu )}$ denota il gruppo di coniugio in ${\displaystyle S_{n}}$ a lui corrispondente, e sia ${\displaystyle i_{j}}$ il numero di volte j che appare in ${\displaystyle \mu }$ (so ${\displaystyle \Sigma \,i_{j}j=n}$). Allora la formula di Frobenius afferma il valore costante di ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ su ${\displaystyle C(\mu ),}$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

è il coefficiente del monomiale ${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$ nel polinomiale omogeneo

${\displaystyle \prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

dove ${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$.

Esempio: Sia ${\displaystyle n=4}$ e ${\displaystyle \lambda :4=2+2}$. Se ${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$, che corrisponde alla classe dell'elemento identità, allora ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$ è il coefficiente di ${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$ in

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

che è 2. Similarmente, se ${\displaystyle \mu :4=3+1}$, alora ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$, dato da

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

è −1.

Bibliografia

• A. Ram, A Frobenius formula for the characters of the Hecke algebras, Inventiones mathematicae, vol 106, no 1, pp 461–488, 1991.
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144