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una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita.
La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.
La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.
Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni , ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano e . Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.
Una forma modulare di peso per il gruppo
è una funzione definita sul semipiano superiore complesso a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:
Il peso è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso rispetto a è uno spazio vettoriale su e si indica con .
La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano
Poiché le matrici e generano il gruppo , allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:
Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.
A volte, invece di , si considera il gruppo modulare, cioè , poiché così l'azione su è fedele.
Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare esiste uno sviluppo in serie di Fourier
dove . I coefficienti sono detti coefficienti di Fourier di e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, -sviluppo in serie di .
Una forma cuspidale di peso è una forma modulare di peso che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè
dove è il primo coefficiente del -sviluppo di . L'insieme delle forme cuspidali è un -sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari e si indica con .
La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti del -sviluppo di una funzione definita sul semipiano superiore complesso a valori nei numeri complessi che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)
Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle forme automorfe.
Utilizzando la teoria delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Roch è possibile calcolare la dimensione degli spazi vettoriali delle forme modulari e cuspidali di peso . Dato intero, si ha
dove è la funzione parte intera.
Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.
Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.
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