Ettagono

Un ettagono, o eptagono, è un poligono che ha sette lati e sette angoli. Si dice ettagono regolare un ettagono convesso con tutti i lati della stessa lunghezza e con gli angoli interni della stessa ampiezza (la somma degli angoli interni è sempre 900°), pari a $5\pi /7$ radianti, circa 128,571 gradi. L'area di un ettagono regolare di lato $a$ è data da

A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3{,}63391a^{2}.

Un ettagono regolare non è costruibile con riga e compasso ma è costruibile con un righello graduato e compasso. Questo tipo di costruzione è chiamata costruzione di Neusi. È inoltre costruibile con il compasso, la riga ed il trisettore di angolo. L'impossibilità della costruzione tramite riga e compasso segue dall'osservazione che $2\cos(2\pi /7)\approx 1,247$ è uno zero del polinomio irriducibile cubico $x^{3}+x^{2}-2x-1$ . Di conseguenza questo polinomio è il polinomio minimo di $2\cos(2\pi /7)$ , mentre il grado del polinomio minimo per un numero costruibile deve essere una potenza di $2$ .

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Una costruzione esatta, per quanto non ottenuta con l'uso classico di riga e compasso, può essere ottenuta grazie a una costruzione di Neusi (vedi figura accanto). $OPQR$ è un quadrato di lato unitario; la retta verticale identificata dal punto $A$ è l'asse del segmento $OP$ mentre l'arco $QB$ è tracciato con centro in $O$ . La costruzione di Neusi comporta la ricerca di un segmento di lunghezza unitaria passante per $P$ e i cui estremi cadano sull'asse di $OP$ e sull'arco $QB$ : l'angolo $PAO$ è l'angolo interno dell'ettagono.