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In matematica, in particolare in teoria dei campi, una estensione abeliana è una estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano.
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Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di è un sottocampo di un campo ciclotomico.
La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane di un campo .
Se il gruppo di Galois di un'estensione di Galois è un gruppo ciclico, allora si ha una estensione ciclica. Una estensione di Galois è detta risolubile se il gruppo di Galois associato è un gruppo risolubile.
Ci sono due definizioni leggermente differenti di estensione ciclotomica:
- una qualunque estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità;
- una sottoestensione di un'estensione di campi ottenuta aggiungendo una radice dell'unità.
La seconda definizione è più ampia della prima.
- Ogni estensione finita di un campo finito è un'estensione ciclica.
- Ogni campo ciclotomico è un'estensione ciclotomica (in entrambe le definizioni). Ogni estensione ciclotomica è abeliana (in entrambe le definizioni).
- Ogni estensione di Kummer è abeliana.
- (EN) Eric W. Weisstein, Estensione abeliana, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Estensione abeliana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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