Equazione di Lagrange

In matematica, l'equazione di Lagrange, anche nota come equazione di d'Alembert o equazione di d'Alembert-Lagrange, che prende il nome da Jean d'Alembert e Joseph Louis Lagrange, è un'equazione differenziale del primo ordine della forma:

${\displaystyle y=xf(y')+g(y')}$

dove ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni reali derivabili note. La precedente è talvolta ottenuta riducendo (se possibile) l'equazione:

${\displaystyle h(y')=x\,f(y')+y\,g(y')}$

Un caso particolare è l'equazione di Clairault.

Metodo risolutivo

Ponendo ${\displaystyle y'=z}$, si riscrive:

${\displaystyle y=xf(z)+g(z)}$

Derivando rispetto a ${\displaystyle x}$, si ottiene:

${\displaystyle z-f(z)={\frac {dz}{dx}}[xf'(z)+g'(z)]}$

Se il primo termine, uguagliato a zero, ha delle radici ${\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}}$, la funzione ${\displaystyle z'}$ è nulla per quei valori. Si hanno quindi delle soluzioni particolari:

${\displaystyle y=z_{k}x+g(z_{k})\qquad k\in \{1,\cdots ,n\}}$

Laddove ${\displaystyle f(z)}$ è diversa da ${\displaystyle z}$, si può riscrivere l'equazione derivata come:

${\displaystyle {\frac {dx}{dz}}=x{\frac {f'(z)}{z-f(z)}}+{\frac {g'(z)}{z-f(z)}}\qquad *}$

che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine in ${\displaystyle x}$, la cui soluzione può essere ricercata con i metodi usuali. Sia ${\displaystyle x=h(z,C)}$ tale soluzione; allora la soluzione parametrica dell'equazione di d'Alembert è:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{x=h(z,C)}\\&{y=f(z)h(z,C)+g(z)}\qquad **\\\end{matrix}}\right.}$

Esempio

Sia dato:

${\displaystyle y=xy'^{2}+{\frac {3}{2}}y'^{2}-y'^{3}}$

Per trovare le soluzioni di ${\displaystyle z-f(z)}$:

${\displaystyle z-z^{2}=0\Rightarrow z\in \{0,1\}}$

le soluzioni particolari sono:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{y=0}\\&{y=x+{\frac {1}{2}}}\\\end{matrix}}\right.}$

Applicando la ${\displaystyle *}$ si ottiene la scrittura:

${\displaystyle {\frac {dx}{dz}}={\frac {2x}{1-z}}+3{\frac {z-z^{2}}{z-z^{2}}}}$

la cui soluzione è:

${\displaystyle x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}$

Sostituendo nella ${\displaystyle **}$ si ha:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}\\&{y=z^{2}\left(z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}\right)+{\frac {3}{2}}z^{2}-z^{3}}\\\end{matrix}}\right.}$

È possibile eliminare la z risolvendo una delle due equazioni sopra, e sostituendo. Ad esempio, la prima ha come soluzione reale

${\displaystyle z={}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}+{\frac {x^{2}}{9{}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}}}+{\frac {1}{3}}(x+3)}$

È evidente il motivo per cui, a parte fortunate eccezioni, si preferisce lasciare le soluzioni come parametriche.

Bibliografia

• (EN) J.L. Lagrange, "Sur l'intégration d'une équation différentielle" J.A. Serret (ed.) , Oeuvres , 1 , G. Olms, reprint (1973) pp. 21–36
• (EN) W.W. Stepanow, "Lehrbuch der Differentialgleichungen" , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956)

Voci correlate

• Equazione di Clairault

Collegamenti esterni

• (EN) Equazione di Lagrange, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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