Anello (algebra)

In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$, che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

Definizione formale

L'insieme ${\displaystyle A}$, dotato di due operazioni binarie ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$, è un anello se valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle (A,+)}$ è un gruppo abeliano con elemento neutro ${\displaystyle 0}$:

• ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),}$
• ${\displaystyle a+b=b+a,}$
• esiste un elemento ${\displaystyle 0\in A}$ tale che ${\displaystyle 0+a=a+0=a,}$
• per ogni ${\displaystyle a\in A}$ esiste un elemento ${\displaystyle -a\in A}$ tale che ${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0.}$

${\displaystyle (A,\cdot )}$ è un semigruppo:

• ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).}$

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),}$
• ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c).}$

Le relazioni devono valere per ogni ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle A}$.

Come per i numeri, il simbolo ${\displaystyle \cdot }$ per la moltiplicazione è spesso omesso.

Spesso vengono studiati anelli che posseggono ulteriori proprietà: se anche la moltiplicazione è commutativa, ${\displaystyle A}$ è detto anello commutativo, se ammette un elemento neutro (generalmente indicato con ${\displaystyle 1}$; cioè ${\displaystyle (A,\cdot )}$ è un monoide) allora l'anello è unitario; se poi l'anello è commutativo e non esistono divisori dello ${\displaystyle 0}$ (cioè se ${\displaystyle ab=0}$ allora almeno uno tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è ${\displaystyle 0}$) si è in presenza di un dominio d'integrità.

Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è un anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia un corpo commutativo. L'esempio più importante di corpo non commutativo è il corpo ${\displaystyle \mathbb {H} }$ dei quaternioni, mentre gli insiemi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (numeri razionali), ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (numeri reali) e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (numeri complessi) sono esempi di campi.

A volte la definizione di anello è lievemente diversa. La più importante di queste differenze è la richiesta che l'anello possegga anche l'unità: tra i matematici che adottano questa definizione vi sono Bourbaki^[1] e Serge Lang^[2]. In questo caso, per riferirsi alla struttura qui presentata come anello, viene usato il termine pseudoanello. Altri autori non richiedono l'associatività del prodotto ^[3].

Esempi

L'esempio più basilare della struttura di anello è l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo ed è un dominio d'integrità. L'insieme dei numeri naturali non è invece un anello, perché non esistono gli inversi rispetto all'addizione.

Allo stesso modo, l'insieme ${\displaystyle A[x]}$ dei polinomi con variabile ${\displaystyle x}$, e coefficienti in un anello ${\displaystyle A}$, è un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi. Tale anello eredita molte proprietà da quelle di ${\displaystyle A}$, quali la commutatività e l'assenza di divisori dello 0. Anche l'insieme ${\displaystyle F(X,A)}$ delle funzioni da un insieme qualsiasi ${\displaystyle X}$ ad un anello ${\displaystyle A}$ forma un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni punto a punto, definite nel modo seguente:

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).}$

Un anello non commutativo è invece l'anello delle matrici ${\displaystyle n\times n}$ (con ${\displaystyle n\geq 2}$) a valori in un anello ${\displaystyle A}$ (indicato con ${\displaystyle M(n,A)}$), con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello possiede anche dei divisori dello zero. Ad esempio, in ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ valgono le relazioni:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\\\end{pmatrix}},}$

e

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Teoremi di base

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in un anello ${\displaystyle A}$:

• ${\displaystyle 0a=a0=0,}$
• ${\displaystyle (-a)b=a(-b)=-(ab).}$

Se poi l'anello ${\displaystyle A}$ è unitario, allora

• l'unità è unica,
• ${\displaystyle (-1)a=-a,}$
• ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$ se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ hanno inversi rispetto al prodotto,
• se ${\displaystyle 0=1}$ allora l'anello è formato da un solo elemento,

Un altro importante teorema, che non richiede l'esistenza dell'unità, è il teorema del binomio:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},}$

valido per ogni coppia di elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ che commutano (cioè tali che ${\displaystyle xy=yx}$).

Sottostrutture

Un sottoanello di un anello ${\displaystyle A}$ è un sottogruppo ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle (A,+)}$ che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole, ${\displaystyle S}$ è un sottoinsieme non vuoto di ${\displaystyle A}$, e se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono in ${\displaystyle S}$, allora anche ${\displaystyle a-b}$ e ${\displaystyle ab}$ sono in ${\displaystyle S}$. Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per ${\displaystyle S}$, anch'esso è un anello rispetto alle operazioni ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$ di ${\displaystyle A}$. In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:

• I numeri interi divisibili per ${\displaystyle n}$ sono un sottoanello di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• L'insieme di tutti i numeri reali della forma ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ interi è un sottoanello di ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Gli interi gaussiani ${\displaystyle a+bi}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono interi, sono un sottoanello di ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• I polinomi in ${\displaystyle A[x]}$ del tipo ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{4}+\dots +a_{n}x^{2n}}$ sono un sottoanello di ${\displaystyle A[x]}$.
• L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.

Un particolare sottoanello è il centro di un anello ${\displaystyle A}$: esso comprende tutti gli elementi che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di ${\displaystyle A}$. Esso coincide con l'intero anello se e solo se ${\displaystyle A}$ è un anello commutativo.

A partire da un sottoanello ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle A}$ e da un sottoinsieme ${\displaystyle X}$, si può costruire il più piccolo sottoanello contenente ${\displaystyle S}$ ed ${\displaystyle X}$: esso è indicato con ${\displaystyle S[X]}$, ed è uguale all'insieme delle combinazioni degli elementi di ${\displaystyle S\cup X}$ mediante le operazioni di anello. Tale operazione è detta estensione di anelli, ed è "finitamente generata" se ${\displaystyle X}$ è finito.

Ideali

Lo stesso argomento in dettaglio: Ideale (matematica).

Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti ${\displaystyle ai}$, dove ${\displaystyle a}$ è un elemento dell'anello e ${\displaystyle i}$ appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale. Se invece l'anello non è commutativo, è necessario distinguere tra ideali destri e sinistri: i primi sono quelli tali che ${\displaystyle ia}$ appartiene all'ideale per ogni ${\displaystyle i}$ nell'ideale e ${\displaystyle a}$ nell'anello, mentre per i secondi, allo stesso modo, ${\displaystyle ai}$ appartiene all'ideale. Se un ideale è sia destro che sinistro, viene detto bilatero o bilaterale.

L'importanza di questa struttura risiede nel fatto che il nucleo di un omomorfismo tra due anelli è sempre un ideale bilatero di ${\displaystyle A}$, e che a partire da un ideale bilatero ${\displaystyle I}$ è possibile costruire l'anello quoziente ${\displaystyle A/I}$. Inoltre la presenza di ideali permette di stabilire un'importante proprietà dell'anello: esso è infatti un campo se e solo se è privo di ideali non banali (cioè diversi dall'insieme ${\displaystyle \{0\}}$ e dall'anello stesso).

A seconda del rapporto di un ideale con il resto dell'anello, sono possibili ulteriori specificazioni: un ideale primo ${\displaystyle I}$ è un ideale tale che, per ogni prodotto ab che appartiene ad ${\displaystyle I}$, almeno uno tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ appartiene ad ${\displaystyle I}$ (il nome deriva dalla similitudine di questa definizione con il lemma di Euclide riguardante i numeri primi); se invece non esistono ideali "intermedi" tra ${\displaystyle I}$ ed ${\displaystyle A}$ (cioè se l'unico ideale di ${\displaystyle A}$ che contiene ${\displaystyle I}$ è ${\displaystyle A}$ stesso) si parla di ideale massimale. Questi due tipi di ideali sono particolarmente importanti in relazione ai loro quozienti: in un anello commutativo, infatti, ${\displaystyle I}$ è primo se e solo se ${\displaystyle A/I}$ è un dominio d'integrità, mentre se l'anello è anche unitario ${\displaystyle I}$ è massimale se e solo se ${\displaystyle A/I}$ è un campo. Questo implica anche che, in un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale è primo.

Il lemma di Krull (la cui dimostrazione si basa sul lemma di Zorn) afferma che ogni anello unitario possiede almeno un ideale massimale; se esso è unico, l'anello si dice locale. L'insieme degli ideali primi di un anello commutativo ${\displaystyle A}$ forma il cosiddetto spettro di ${\displaystyle A}$.

Elementi invertibili

Un elemento ${\displaystyle a}$ di un anello ${\displaystyle A}$ con unità è invertibile se esiste un ${\displaystyle b}$ tale che ${\displaystyle ab=ba=1}$.

Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.

L'insieme degli elementi invertibili in ${\displaystyle A}$ è generalmente descritto come ${\displaystyle A^{*}}$. L'insieme ${\displaystyle A^{*}}$ forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di ${\displaystyle A}$.

Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi ${\displaystyle \{-1,1\}}$. In un corpo o in un campo, il gruppo moltiplicativo coincide con tutto l'anello privato dell'elemento neutro.

Omomorfismi

Lo stesso argomento in dettaglio: Omomorfismo di anelli.

Un omomorfismo tra due anelli ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è una funzione che preserva le operazioni, cioè una funzione ${\displaystyle f}$ tale che, per ogni coppia di elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle A}$, si ha ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ e ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$. Gli omomorfismi quindi preservano in qualche modo la struttura algebrica; particolarmente importanti tra di essi sono gli isomorfismi, ovvero gli omomorfismi biunivoci, che la conservano completamente: due anelli isomorfi possono essere considerati "uguali" per tutte le proprietà algebriche.

Ogni omomorfismo mappa lo zero di ${\displaystyle A}$ nello zero di ${\displaystyle B}$, mentre questo non avviene per l'unità, nemmeno se entrambi gli anelli sono unitari: condizioni sufficienti perché questo avvenga è che l'omomorfismo sia suriettivo oppure che nel codominio non esistano divisori dello zero. Il nucleo di un omomorfismo è un ideale bilatero di ${\displaystyle A}$, e viceversa ogni ideale è il nucleo di un omomorfismo: invece l'immagine di ${\displaystyle A}$ è un sottoanello di ${\displaystyle B}$. Gli omomorfismi preservano in una certa misura anche le sottostrutture: l'immagine di un sottoanello è un sottoanello, mentre l'immagine di un ideale è un ideale nell'immagine di ${\displaystyle A}$, ma non necessariamente in ${\displaystyle B}$.

Una relazione molto importante è il teorema fondamentale di omomorfismo, che permette di trovare degli isomorfismi a partire dagli omomorfismi: se ${\displaystyle f}$ è un omomorfismo tra ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle I}$ è il suo nucleo, allora il quoziente ${\displaystyle A/I}$ è isomorfo all'immagine ${\displaystyle f(A)}$.

Un omomorfismo suriettivo può essere considerato una proiezione di un anello ${\displaystyle A}$ su un suo quoziente ${\displaystyle A/I}$ (dove ${\displaystyle I}$ è il nucleo); un omomorfismo iniettivo, invece, può essere considerato un'inclusione di un anello nell'altro, perché, per il teorema di omomorfismo, esiste nel codominio un'immagine isomorfa ad ${\displaystyle A}$, che quindi può essere considerata uguale ad ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle A}$ è un campo, inoltre, tutti gli omomorfismi non nulli sono iniettivi, in quanto gli unici ideali sono quelli banali.

Prodotto diretto

Il prodotto diretto di due anelli ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è il prodotto cartesiano ${\displaystyle A\times B}$ con le operazioni definite termine a termine:

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}).}$

Questo nuovo insieme forma un anello, in cui lo ${\displaystyle 0}$ è la coppia ${\displaystyle (0_{A},0_{B})}$. Diverse proprietà di questo nuovo anello possono essere dedotte dalle proprietà degli anelli di partenza: ${\displaystyle A\times B}$ è commutativo se e solo se lo sono entrambi i fattori, mentre se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono unitari allora ${\displaystyle (1_{A},1_{B})}$ è l'unità di ${\displaystyle A\times B}$. Una proprietà che invece non passa al prodotto è l'assenza di divisori degli zeri: infatti il prodotto ${\displaystyle (0_{A},a)(b,0_{B})}$ è sempre uguale a ${\displaystyle (0_{A},0_{B})}$, anche se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ non sono zeri. Questo implica che il prodotto diretto di campi non è mai un campo, a meno che uno non sia ridotto al solo ${\displaystyle 0}$.

Questa definizione si può estendere naturalmente al prodotto cartesiano di ${\displaystyle n}$ anelli.

Elementi primi ed irriducibili

Lo stesso argomento in dettaglio: Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un dominio d'integrità è possibile come in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ studiare la fattorizzazione di un dato elemento (non invertibile). In questo contesto, la definizione di divisibilità si estende naturalmente al caso di qualsiasi dominio: ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle b}$ se esiste un elemento ${\displaystyle r}$ tale che ${\displaystyle ar=b}$. Se ${\displaystyle r}$ è invertibile, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ si dicono associati.

Due definizioni emergono naturalmente in questo studio:

• un elemento ${\displaystyle a}$ è irriducibile se, ogniqualvolta che ${\displaystyle a=bc}$, allora o ${\displaystyle b}$ o ${\displaystyle c}$ è invertibile;
• un elemento ${\displaystyle a}$ è primo se, quando ${\displaystyle a}$ divide il prodotto ${\displaystyle bc}$, allora ${\displaystyle a}$ divide almeno uno tra ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$.

In ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, queste due definizioni sono equivalenti, ma questo non è vero in generale: gli elementi primi sono irriducibili, ma gli irriducibili non sono sempre primi. Ad esempio, nell'anello

${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}~|~a,b\in \mathbb {Z} \}=\{a+ib{\sqrt {3}}~|~a,b\in \mathbb {Z} ,~i={\sqrt {-1}}\},}$

${\displaystyle 2}$ è irriducibile ma non primo, perché divide il prodotto ${\displaystyle (1-i{\sqrt {3}})(1+i{\sqrt {3}})=4}$, ma non divide né un fattore né l'altro.

Questa seconda implicazione è tuttavia verificata negli anelli a fattorizzazione unica, ovvero in quegli anelli in cui, date due fattorizzazioni in irriducibili

${\displaystyle a=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=c_{1}c_{2}\cdots c_{m}}$

allora ${\displaystyle m=n}$, e ogni ${\displaystyle b_{i}}$ è associato ad un ${\displaystyle c_{j}}$. In ogni dominio a fattorizzazione unica esistono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra ogni coppia di elementi.

Anelli con ancora maggiori proprietà sono gli anelli ad ideali principali e gli anelli euclidei, in cui è possibile effettuare la divisione euclidea come negli interi. A quest'ultima classe appartengono anche gli anelli di polinomi ${\displaystyle \mathbb {K} [X]}$, dove ${\displaystyle \mathbb {K} }$ è un campo.

Note

1. (EN) Elements of Mathematics, Vol. II Algebra, Ch. 1, Springer
2. (EN) Algebra, 3rd edition, Springer, ch. II
3. (EN) https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras

Bibliografia

• Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero? Una introduzione all'algebra, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3
• Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6
• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7
• Michael Artin (1997): Algebra, Bollati Boringhieri, ISBN 8833955869
• Serge Lang, Algebra, (EN) Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4

Voci correlate

• Storia della teoria degli anelli
• Teoria degli anelli
• Ideale (matematica)
• Anello commutativo
• Semianello
• Dominio di integrità
• Campo (matematica)
• Struttura algebrica

Altri progetti

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• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «anello»

Collegamenti esterni

• anello, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• anèllo, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• anèllo, su sapere.it, De Agostini.
• anello, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) ring / ring with unity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Rings (Algebra), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Ring, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Ring, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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