Dominio euclideo

In algebra, un dominio euclideo o anello euclideo è un anello commutativo su cui è possibile effettuare una divisione euclidea.

Definizione

Un dominio d'integrità ${\displaystyle R}$ è un anello euclideo se è possibile definire una funzione ${\displaystyle d\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} }$ che associa ad ogni elemento non nullo ${\displaystyle a\in R}$ un numero naturale ${\displaystyle d(a)}$ con le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle d(a)\leq d(a*b)\;\forall a,b\in R\setminus \{0\}}$
• ${\displaystyle \forall a,b\in R}$,con ${\displaystyle b\neq 0\ \exists q,r\in R}$ tali che ${\displaystyle a=q*b+r}$ e ${\displaystyle d(r)<d(b)}$ oppure ${\displaystyle r=0}$

In pratica, tale proprietà dice che è sempre possibile effettuare una divisione fra due numeri non nulli a e b, avente quoziente q e resto r, tale che il resto r sia "più piccolo" di b: esattamente quanto accade con i numeri interi. L'essere "più piccolo" è realizzato dalla funzione ${\displaystyle d}$, detta valutazione o norma.

Esempi

Anelli euclidei

• l'anello Z degli interi, con v(n) = |n| il valore assoluto di n;
• l'anello Z[i] degli interi gaussiani, con v(a+bi) = a²+b²;
• l'anello K[X] dei polinomi a coefficienti in un campo K, con v(p) uguale al grado del polinomio p;
• l'anello K[[X]] delle serie formali di potenze a coefficienti in un campo K, con v(f) uguale al grado del più piccolo monomio presente nella serie f.
• un campo qualsiasi, semplicemente con v(x) = 1 per ogni x.

Anelli non euclidei

• un anello che non è ad ideali principali non è neppure euclideo. Più difficile è trovare un anello ad ideali principali che non sia euclideo: un esempio è dato da

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$

Proprietà

Sia A un anello euclideo.

• A è un anello ad ideali principali. Infatti ogni ideale I è generato da uno qualsiasi degli elementi in I avente valutazione minima;
• l'algoritmo di Euclide per trovare il massimo comune divisore fra due elementi funziona in A;
• è possibile trovare una valutazione su A tale che v(ab) ≥ v(a) per ogni a e b non nulli;
• poiché A è ad ideali principali, è anche un anello a fattorizzazione unica: una valutazione con la proprietà v(ab) ≥ v(a) può essere usata per trovare direttamente la fattorizzazione.

Bibliografia

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
• Luca Barbieri Viale, §5.4 Anelli euclidei, Che cos'è un numero ? Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3

Voci correlate

• Dominio d'integrità
• Anello a fattorizzazione unica
• Anello ad ideali principali
• Divisione euclidea
• Algoritmo di Euclide
• Fattorizzazione (teoria degli anelli)

Collegamenti esterni

• Dominio euclideo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Euclidean Domain, su MathWorld, Wolfram Research.

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