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Distribuzione lognormale

distribuzione di probabilità Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

Distribuzione lognormale
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In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log-normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria il cui logaritmo segue una distribuzione normale.

Fatti in breve Parametri, Supporto ...
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Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti.

Viene utilizzata anche in matematica finanziaria.

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Definizione

Riepilogo
Prospettiva

La variabile aleatoria segue la distribuzione lognormale se e solo se segue la distribuzione normale .

La sua funzione di densità di probabilità è

per .
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Caratteristiche

Riepilogo
Prospettiva

La funzione di ripartizione della distribuzione lognormale è

dove è la funzione di ripartizione della distribuzione normale ed è la funzione degli errori.

I momenti semplici della distribuzione possono essere dedotti dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale di

.

In particolare si trovano

.

I parametri possono essere ricavati dalla speranza e dalla varianza, utilizzando la relazione .

Gli indici di asimmetria e curtosi sono

e .

La moda della distribuzione è .

La mediana è e si trova immediatamente tramite la mediana di : .

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Proprietà

Riepilogo
Prospettiva

Se è una variabile aleatoria con distribuzione lognormale allora

  • segue la distribuzione normale .

Per ogni trasformazione lineare (invertibile)

  • segue ancora una distribuzione normale
  • segue una distribuzione lognormale .

In particolare seguono una distribuzione lognormale

  • i multipli scalari ,
  • le potenze
  • e l'inverso di .

Per la definizione di distribuzione lognormale non è importante che venga scelto il logaritmo naturale, ovvero la base e: due distinti logaritmi e differiscono soltanto di un fattore .

La distribuzione lognormale svolge un ruolo simile a quello della distribuzione normale, la quale può fornire un'approssimazione per la somma di "molte" variabili aleatorie indipendenti aventi una stessa distribuzione (teorema del limite centrale). Se le sono positive allora la distribuzione lognormale può fornire un'approssimazione per il loro prodotto (così come la distribuzione normale può fornire un'approssimazione per la somma dei loro logaritmi, ).

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