In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.
Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.
Una funzione può essere differenziabile volte, e si parla in questo caso di funzione di classe . Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.
Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe .
Dette e le basi canoniche di e rispettivamente, si ha:
L'applicazione lineare è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice , detta matrice jacobiana di in .
Il -esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:[5]
A seconda delle dimensioni e , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:
- Se , la matrice jacobiana si riduce ad un vettore -dimensionale, chiamato gradiente di in . In tal caso si ha:
- Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
- Se , la funzione parametrizza una curva in , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
- Se , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.
Sia un sottoinsieme aperto del piano complesso . Una funzione è differenziabile in senso complesso (-differenziabile) in un punto di se esiste il limite:
Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con . Se è differenziabile in senso complesso in ogni punto di , essa è una funzione olomorfa su . Si dice inoltre che è olomorfa nel punto se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che è olomorfa in un insieme non aperto se è olomorfa in un aperto contenente .
La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa è olomorfa allora e possiedono derivata parziale prima rispetto a e e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:
In modo equivalente, la derivata di Wirtinger di rispetto al complesso coniugato di è nulla.
- Una funzione differenziabile in un punto è continua in . Infatti:
- per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.
- Se è una funzione differenziabile in , allora essa ammette tutte le derivate parziali in . Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:
- ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in . Tuttavia, se è di classe in un intorno di , cioè se esistono tutte le derivate parziali di e queste sono funzioni continue, allora è differenziabile in . Vale quindi, se è aperto, che implica la differenziabilità in che implica a sua volta che .
Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima in un intorno di è la funzione:
Per verificarlo, si consideri un intorno di di raggio .
Se si effettua uno zoom sul grafico di in modo che l'intorno ci appaia di raggio , la distanza che si vede tra la funzione e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto è uguale a:
dove la divisione per corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:
ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di si deduce che:
il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di e della sua approssimazione affine intorno a è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di .
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 2001, ISBN 9788820731373. (capitolo 2, paragrafo 13)
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Bologna, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203. (capitolo 3, paragrafo 29)
- Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.