Diagonale

In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Diagonale (disambigua).

Il segmento B'D' è una diagonale del poligono A'B'C'D' e del cubo. Il segmento A'C è una diagonale del solo cubo

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di ${\displaystyle n>2}$ vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno ${\displaystyle n-3}$ diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di ${\displaystyle n>2}$ vertici è dato dalla formula

${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Dimostrazioni

Dimostrazione 1

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli ${\displaystyle n}$ punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti ${\displaystyle n-1}$ (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale ${\displaystyle n-1}$ diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

da ${\displaystyle A_{1}}$ partono ${\displaystyle n-1}$ diagonali;

da ${\displaystyle A_{2}}$ partono ${\displaystyle n-2}$ diagonali (si toglie quella proveniente da ${\displaystyle A_{1}}$);

da ${\displaystyle A_{3}}$ partono ${\displaystyle n-3}$ diagonali (si tolgono quelle provenienti da ${\displaystyle A_{1}}$ e ${\displaystyle A_{2}}$);

...

da ${\displaystyle A_{n}}$ partono ${\displaystyle n-n=0}$ diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

${\displaystyle 0+1+2+...+(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}},}$

da cui però bisogna togliere gli ${\displaystyle n}$ lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.}$

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{4}}}}$ e il segmento ${\displaystyle {\overline {A_{4}A_{1}}}}$ rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con ${\displaystyle n}$ oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di ${\displaystyle n}$ oggetti di classe 2

${\displaystyle C_{n,2}={n \choose 2}={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n(n-1)}{2}}.}$

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero ${\displaystyle n}$ dei vertici del poligono

${\displaystyle d={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-1)-2n}{2}},}$

da cui ${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}.}$

Analisi empirica

L'andamento del numero di diagonali in funzione del numero di lati del poligono corrisponde alla conica di formula ${\displaystyle x^{2}-3x-2y=0}$, dove ${\displaystyle x}$ è il numero dei lati e ${\displaystyle y}$ è il numero delle diagonali

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Lati Diagonali 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Lati Diagonali 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Lati Diagonali 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Lati Diagonali 27 324 28 350 29 377 30 406 31 434 32 464 33 495 34 527

Lati Diagonali 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni

${\displaystyle {\begin{cases}an_{1}^{2}+bn_{1}+c=d_{1}\\an_{2}^{2}+bn_{2}+c=d_{2}\\an_{3}^{2}+bn_{3}+c=d_{3}\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle n_{i}}$ è il numero dei lati e ${\displaystyle d_{i}}$ è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia ${\displaystyle n_{i}}$ che ${\displaystyle d_{i}}$ sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono ${\displaystyle a,b,c}$. Sostituendo, ad esempio, ${\displaystyle n_{1}=3,n_{2}=4,n_{3}=5}$ e i corrispondenti valori di ${\displaystyle d_{i}}$ si ha

${\displaystyle {\begin{cases}9a+3b+c=0\\16a+4b+c=2\\25a+5b+c=5\end{cases}}}$

e risolvendo il sistema si ottiene ${\displaystyle a={\frac {1}{2}},b=-{\frac {3}{2}},c=0}$.

Quindi la formula risolutiva è ${\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}}$ che sul piano cartesiano assume la forma della conica ${\displaystyle x^{2}-3x-2y=0}$ con ${\displaystyle x=n}$ e ${\displaystyle y=d}$.

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