L'equazione dell'iperbole equilatera in figura è:
x
2
−
y
2
=
a
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2}}
quindi:
O
C
¯
=
x
,
P
C
¯
=
x
2
−
a
2
,
O
A
¯
=
a
.
{\displaystyle {\overline {OC}}=x,\qquad {\overline {PC}}={\sqrt {x^{2}-a^{2}}},\qquad {\overline {OA}}=a.}
L'area del settore iperbolico
O
A
P
{\displaystyle OAP}
O
P
C
{\displaystyle OPC}
A
P
{\displaystyle AP}
x
{\displaystyle x}
P
C
.
{\displaystyle PC.}
S
=
1
2
x
x
2
−
a
2
−
∫
a
x
t
2
−
a
2
d
t
=
a
2
2
[
ln
(
x
+
x
2
−
a
2
)
−
ln
a
]
=
a
2
2
[
ln
(
x
a
+
(
x
a
)
2
−
1
)
]
.
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-\int _{a}^{x}{\sqrt {t^{2}-a^{2}}}\,dt={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)-\ln a\right]={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\right].}
Posto
2
S
a
2
=
t
{\displaystyle {\frac {2S}{a^{2}}}=t}
ln
(
x
a
+
(
x
a
)
2
−
1
)
=
t
{\displaystyle \ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)=t}
x
a
+
(
x
a
)
2
−
1
=
e
t
{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}=e^{t}}
(
x
a
)
2
−
1
=
(
e
t
−
x
a
)
2
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1=\left(e^{t}-{\frac {x}{a}}\right)^{2}}
2
x
a
e
t
=
e
2
t
+
1
{\displaystyle 2{\frac {x}{a}}e^{t}=e^{2t}+1}
x
a
=
e
t
+
e
−
t
2
.
{\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}.}
Quest'ultima relazione definisce il coseno iperbolico di
t
,
{\displaystyle t,}
cosh
t
{\displaystyle \cosh t}
cosh
t
=
e
t
+
e
−
t
2
.
{\displaystyle \cosh t={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}.}
Si definisce inoltre il seno iperbolico:
sinh
t
=
y
a
=
x
2
−
a
2
a
=
(
e
t
+
e
−
t
2
)
2
−
1
=
(
e
t
−
e
−
t
2
)
2
=
e
t
−
e
−
t
2
.
{\displaystyle \sinh t={\frac {y}{a}}={\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}={\sqrt {\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-1}}={\sqrt {\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}.}
L'argomento delle funzioni iperboliche è analogo a quello delle funzioni goniometriche se si considera che, nel caso della circonferenza , l'angolo, in radianti, è uguale al doppio dell'area del settore circolare diviso il raggio al quadrato:
θ
=
2
S
a
2
{\displaystyle \theta ={\frac {2S}{a^{2}}}}
e
cos
θ
=
x
a
,
sin
θ
=
y
a
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{a}},\qquad \sin \theta ={\frac {y}{a}}.}
![{\displaystyle S={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-\int _{a}^{x}{\sqrt {t^{2}-a^{2}}}\,dt={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)-\ln a\right]={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7b24fa4af760be45de1029a8f7400cbc8ebad5)
