Densità degli stati

In meccanica quantistica, un sistema non può assumere energie arbitrarie, ma è invece vincolato ad occupare dei livelli energetici discreti. A ciascun livello possono corrispondere uno o più stati quantistici. In questo contesto, la densità degli stati è una distribuzione usata in fisica statistica e dello stato solido per indicare quanti stati siano potenzialmente disponibili ad un dato sistema quantistico ad una data energia.

Definizione ed applicazioni

La densità degli stati ${\displaystyle g(\epsilon )}$ è definita come il numero degli stati disponibile a un sistema quantistico in un intervallo di energia di ampiezza ${\displaystyle \delta \epsilon }$ centrato in ${\displaystyle \epsilon }$ diviso per l'ampiezza stessa di tale intervallo,^[1]

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {\#stati\ in\ [\epsilon -\delta \epsilon /2,\epsilon +\delta \epsilon /2]}{\delta \epsilon }}.}$

Tramite la relazione di dispersione ${\displaystyle \epsilon ({\bf {k}})}$, che lega l'energia di uno stato al suo impulso ${\displaystyle {\bf {k}}}$, si può scrivere la densità di stati come

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {g_{s}}{V}}\sum _{\bf {k}}\delta (\epsilon -\epsilon ({\bf {k}})),}$

con ${\displaystyle \delta (\epsilon )}$ la distribuzione delta di Dirac, e ${\displaystyle g_{s}}$ il fattore di degenerazione legato allo spin. Per esempio, se lo spin è ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle g_{s}}$ sarà ${\displaystyle 2}$. In generale infatti: ${\displaystyle g_{s}=2s+1}$ dove ${\displaystyle s}$ è appunto il numero di spin.

Nel limite termodinamico in cui in un intervallo di energia di ampiezza ${\displaystyle \delta \epsilon }$ sia contenuto un numero elevato di stati, la somma nell'espressione precedente può essere estesa a un integrale dove la misura dello spazio degli impulsi è ${\displaystyle d^{d}k/(2\pi \hbar )^{d}}$, ottenendo così l'espressione^[2]

${\displaystyle g(\epsilon )=\int {\frac {d^{d}k\,d^{d}x}{(2\pi \hbar )^{d}}}\,\delta (\epsilon -\epsilon ({\bf {k}})).}$

Le densità di stati così ottenute possono successivamente essere usate come pesi per calcolare osservabili termodinamiche in maniera agevole tramite la trasformazione

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}k\,d^{d}x}{(2\pi \hbar )^{d}}}\,\to \int d\epsilon \,g(\epsilon ),}$

che rimpiazza un integrale in ${\displaystyle 2d}$ variabili con un integrale in una sola variabile. Questo cambio di variabili è vantaggioso qualora la funzione di distribuzione del sistema e le osservabili di interesse siano esprimibili in maniera semplice in termini dell'energia.

Esempio: gas di fermioni liberi

La relazione di dispersione del sistema è semplicemente ${\displaystyle \epsilon ({\bf {k}})={\bf {k}}^{2}/2m}$, con ${\displaystyle m}$ la massa delle particelle. Il calcolo della ${\displaystyle g(\epsilon )}$ in tre dimensioni porta a^[2]

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {{\sqrt {2}}Vm^{3/2}}{\hbar ^{3}\pi ^{2}}}\epsilon ^{1/2}.}$

Ricordando che i fermioni seguono la statistica di Fermi-Dirac

${\displaystyle f_{FD}(\epsilon ,T)={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}},}$

dove ${\displaystyle \mu }$ è il potenziale chimico, ${\displaystyle T}$ la temperatura e ${\displaystyle k_{B}}$ la costante di Boltzmann e che, a ${\displaystyle T=0}$, ${\displaystyle f_{FD}(\epsilon )}$ è una funzione gradino che vale ${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle \epsilon <\mu }$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti, si può calcolare, ad esempio, il numero di particelle nel sistema in funzione dell'energia di Fermi ${\displaystyle \epsilon _{F}=\mu }$ è dato da

${\displaystyle N=\int _{0}^{\epsilon _{F}}d\epsilon \,g(\epsilon ),}$

mentre a temperatura finita diviene

${\displaystyle N_{T}=\int _{0}^{\infty }d\epsilon \,{g(\epsilon )}{f_{FD}(\epsilon ,T)}.}$