Costante di Conway

La costante di Conway è una costante matematica legata a un gioco, il decadimento audioattivo. Essa riguarda il tasso di crescita di una stringa di numeri quando ad essa viene applicata la regola del decadimento audioattivo, detta anche guarda e parla: se si trovano n cifre adiacenti uguali ad x, al loro posto si sostituisce nx.

Costante di Conway
Simbolo	λ
Valore	1,303577269034296391257099112... (sequenza A014715 dell'OEIS)
Origine del nome	John Conway
Frazione continua	[1; 3, 3, 2, 2, 54, 5, 2, 1, 16, 1, 30, 1, ...] (sequenza A014967 dell'OEIS)
Insieme	numeri algebrici irrazionali
Il grafico mostra la crescita del numero di cifre delle sequenze di decadimento audioattivo con punti di partenza 23 (linea rossa), 1 (blu), 13 (viola), 312 (verde). Quando rappresentate in scala logaritmica queste linee tendono a rette con coefficiente angolare pari alla costante di Conway.

Esempio: se si ha una stringa fatta così:

222

al suo posto si sostituisce 32 (sono tre cifre "due"). Poi il procedimento si può ripetere, e al passo successivo si sostituisce la stringa 1312 (un "tre" e un "due").

Ad esclusione del caso in cui il numero di partenza sia 22 (che dà luogo alla sequenza degenere 22, 22, 22, ...), il numero di cifre Ln dell'n-esima stringa è una quantità che cresce al crescere di n. Inoltre, la crescita media è di circa il 30% o, più precisamente, si ha che

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\lambda ,}$

dove ${\displaystyle \lambda }$ = 1,3035772690342963912570991121525518907307025046594... è chiamata costante di Conway ed è l'unica radice reale positiva dell'equazione

${\displaystyle x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+}$

${\displaystyle 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-}$

${\displaystyle 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-}$

${\displaystyle 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-}$

${\displaystyle 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-}$

${\displaystyle 2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0}$

Le soluzioni del polinomio di Conway sul piano complesso: si osservano tre soluzioni reali, una sola delle quali è positiva.

Bibliografia

• http://utenti.quipo.it/base5/conway/teocosmi.htm Pagina in italiano dove si può provare il decadimento audioattivo on-line.

Voci correlate

• Decadimento audioattivo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Conway's Constant, su MathWorld, Wolfram Research.

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