Auto similarità

In matematica, un oggetto auto-simile è esattamente o approssimativamente simile a una sua parte (cioè una o più delle sue parti è internamente omotetica al tutto). Molti oggetti nel mondo reale, come ad esempio le coste, sono statisticamente auto-simili: parti di questi oggetti mostrano le stesse proprietà statistiche a molte scale^[1]. L'auto-similarità è una proprietà tipica dei frattali.

La curva di Koch ha un'autosimilarità ripetuta infinite volte quando viene ingrandita.

L'invarianza di scala è una forma esatta di auto-similarità, dove ad ogni ingrandimento c'è una parte dell'oggetto che è simile al tutto. Per esempio, un lato del fiocco di Koch è sia simmetrico che invariante di scala: può essere ingrandito di un fattore 3 senza cambiare forma.

Definizione

Uno spazio topologico compatto ${\displaystyle X}$ è auto-simile se esiste un insieme finito ${\displaystyle S}$ di indici ed un insieme di omeomorfismi non suriettivi ${\displaystyle \lbrace f_{s}\rbrace _{s\in S}}$ per cui

${\displaystyle X=\cup _{s\in S}f_{s}(X).}$

Se ${\displaystyle X\subset Y}$, diciamo che ${\displaystyle X}$ è auto-simile se è il solo sottoinsieme non-vuoto di ${\displaystyle Y}$ tale che l'equazione precedente vale per ${\displaystyle \lbrace f_{s}\rbrace _{s\in S}}$. Una struttura auto-simile è formata dalla terna

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\lbrace f_{s}\rbrace _{s\in S}).}$

Gli omeomorfismi possono essere iterati, dando origine a un sistema di funzioni iterate. La composizione di funzioni crea la struttura algebrica di monoide. Quando l'insieme ${\displaystyle S}$ ha solo due elementi, il monoide è detto monoide diadico. Il monoide diadico può essere rappresentato come un albero binario infinito; più in generale, se l'insieme ${\displaystyle S}$ ha ${\displaystyle p}$ elementi, allora il monoide può essere rappresentato come un albero con numero di coordinazione ${\displaystyle p.}$

Gli automorfismi di un monoide diadico formano il gruppo modulare. Gli automorfismi possono essere rappresentati come le rotazioni iperboliche dell'albero binario.

Esempi

Auto-similarità nell'insieme di Mandelbrot mostrata zoomando sul punto di Feigenbaum a (-1.401155189...,0)

Immagine di una felce che presenta auto-similarità affine

L'insieme di Mandelbrot è auto-simile attorno ai cosiddetti punti di Misiurewicz.

L'auto-similarità ha importanti conseguenze nel progetto di reti di computer, poiché il tipico traffico sulla rete ha proprietà di auto-similarità. Ad esempio, nell'ingegneria delle telecomunicazioni, le sequenze di dati in reti a commutazione di pacchetto sembrano essere auto-simili^[2]. Questa proprietà significa che semplici modelli che utilizzano una distribuzione di Poisson sono inadeguati e le reti progettate senza considerare l'auto-similarità hanno grandi probabilità di funzionare in modo inaspettato.

Le piante sono oggetti auto-simili presenti in natura. L'immagine a fianco è un esempio, benché generato al computer, di auto-similarità. Le felci reali, tuttavia, sono estremamente vicine all'auto-similarità reale.

La teoria del 1941 sulla turbolenza sviluppata da Kolmogorov si basa sull'assunto che il campo di velocità di un fluido turbolento possieda auto-similarità (in senso statistico). Il fatto che tale teoria riesca a fornire certe previsioni corrette, mentre altre risultano errate, indica che tale assunzione è valida solo in prima approssimazione.^[3]

Note

1. Benoît Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
2. Leland et al. "On the self-similar nature of Ethernet traffic", IEEE/ACM Transactions on Networking, Volume 2, Issue 1 (February 1994)
3. Frisch, U., Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995.

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Collegamenti esterni

• "Copperplate Chevrons" — Zoom di un frattale auto-simile

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