Thumb — L'astroide come inviluppo di ellissi.

La cubocicloide, poiché ipocicloide è generata dalla rotazione di una circonferenza di raggio b all'interno di una di raggio a, con a/b=4 oppure a/b=4/3. Ad, esempio, se un cerchio di raggio 1 rotola all'interno di un cerchio di raggio 4, a/b=4 e la sua equazione parametrica è:

x=3\cos \phi +\cos \left(-3\phi \right)

y=3\sin \phi +\sin \left(-3\phi \right)

da cui

x=4\cos ^{3}\phi {\frac {}{}}

y=4\sin ^{3}\phi {\frac {}{}}

e generalizzando:

x=c\cos ^{3}\phi {\frac {}{}}

y=c\sin ^{3}\phi {\frac {}{}}

con $0\leq \phi <2\pi ,\quad c\in R^{+}$ .

Mentre in coordinate polari essa diventa:

r=r_{0}{\frac {|\sec \theta |}{\left(1+\tan ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}

con $0\leq \theta <2\pi ,\quad r_{0}\in R^{+}$

La sua equazione cartesiana è, invece:

x^{2/3}+y^{2/3}=c^{2/3}.{\frac {}{}}

Da quest'ultima espressione si evince che l'astroide è un caso particolare di una superellisse.

L'astroide può anche essere visto come generato dall'inviluppo di segmenti di dimensione assegnata con estremi sui semiassi. Oppure come l'inviluppo di ellissi disposti con gli assi coincidenti sugli assi del sistema di riferimento.

Equazioni

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