Teorema degli zeri di Hilbert
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Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.
Sia un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi
e sia
un ideale in questo anello. L'insieme algebrico
definito da questo ideale consiste di tutte le
-uple
in
tali che
per tutti gli
in
. Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se
è un qualche polinomio in
che si annulla sull'insieme algebrico
, cioè
per tutti gli
in
, allora esiste un numero naturale
tale che
è in
.
Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se è un ideale proprio in
, allora
non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene
. Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che
sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio
in
non ha uno zero comune.
Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come
per ogni ideale . Qui,
denota il radicale di
e
è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme
. In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in
e gli ideali radicali di
.