In matematica, uno spazio funzionale o spazio di funzioni è un insieme di funzioni che può essere uno spazio topologico o uno spazio vettoriale o entrambi.
Gli spazi funzionali sono presenti in varie aree della matematica:
- nella teoria degli insiemi, l'insieme delle parti di un insieme può essere identificato con l'insieme di tutte le funzioni da a . Più generalmente, l'insieme delle funzioni è indicato con .
- in algebra lineare l'insieme di tutte le trasformazioni lineari da uno spazio vettoriale ad un altro , sullo stesso campo, è anch'esso uno spazio vettoriale.
- in analisi funzionale si vede la stessa cosa per trasformazioni lineari continue. Gli esempi più importanti sono gli spazi di Hilbert e gli spazi di Banach.
- in analisi funzionale l'insieme di tutte le funzioni dai numeri naturali a un altro insieme è chiamato spazio delle successioni. Esso consiste in tutte le possibili successioni di elementi di .
- in topologia, si può definire la topologia dello spazio delle funzioni continue definite su uno spazio topologico a valori in un altro spazio topologico, detta topologia operatoriale.
- nella topologia algebrica, la teoria dell'omotopia.
- nella teoria dei processi stocastici, uno dei principali problemi è come costruire una misura di probabilità su uno spazio di funzioni.
- nella teoria delle categorie uno spazio di funzioni è un oggetto esponenziale.
- nel lambda calcolo.
- nella teoria dei domini.
Analisi funzionale
L'analisi funzionale è uno degli ambiti in cui gli spazi di funzioni sono maggiormente studiati. In questo settore vi sono diversi metodi per trattare questi spazi come spazi vettoriali topologici. Tra i principali vi sono:
- (EN) Kolmogorov, A. N., & Fomin, S. V. (1967). Elements of the theory of functions and functional analysis. Courier Dover Publications.
- (EN) Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Functional Analysis: An Introduction to Further Topics in Analysis. Princeton University Press.
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