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Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo funzione dello stato e del controllo .
con e matrici simmetriche e semi definite positive e simmetrica e definita positiva.
Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:
La matrice è simmetrica mentre risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.
La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo sia unico.
Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo .
Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.
Il controllo ottenuto è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.
Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito (→∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce . L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.
Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂ relative al processo nominale con upperbound costante in frequenza e pari a . In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).
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