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Punto critico (matematica)
in analisi matematica, un punto in cui la derivata è nulla / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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In analisi matematica, un punto critico o punto stazionario di ordine di una funzione analitica è un punto del piano complesso in cui la funzione è regolare ma la sua derivata ha uno zero di ordine
. L'immagine di un punto critico è detto valore critico.
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Un punto critico o stazionario di una funzione differenziabile reale è un punto in cui la derivata si annulla oppure non è definita. Nel caso in cui si tratti di una funzione reale di due o più variabili, devono annullarsi tutte le derivate parziali, mentre se anche il codominio è uno spazio vettoriale allora è un punto in cui la matrice jacobiana non ha rango massimo. Considerando infine il caso di un campo vettoriale su una varietà differenziabile, un punto critico è un punto dove il campo vettoriale è nullo o diventa infinito.
Detta una funzione analitica,
è un punto critico se:
Una funzione che è regolare all'infinito ha un punto critico all'infinito se:
L'uso della parola "critico" è dovuto al fatto che nelle sue vicinanze si possono avere comportamenti atipici con, per esempio, punti di massimo o minimo locale o di flesso stazionario (tangenza orizzontale).
Se ad esempio è il potenziale complesso associato al flusso di un liquido incomprimibile attraverso una superficie piana, per un punto critico passano non più di
linee di flusso, ed in prossimità di esso la velocità di flusso (un campo vettoriale) è nulla.