Pentamino
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Un pentamino (dal greco πέντε, cinque) è un polimino composto di cinque quadrati identici, connessi tra di loro lungo dei lati.
Esistono dodici diversi pentamini, convenzionalmente chiamati con le lettere dell'alfabeto a cui assomigliano. Di solito, due pentamini ottenibili l'uno dall'altro con un'isometria si considerano lo stesso.
I pentamini F, L, N, P, Y e Z sono chirali in due dimensioni; se consideriamo anche i loro simmetrici (F', J, N', Q, Y', S), il numero totale di pentamini arriva a 18. Per ognuno degli altri (I, T, U, V, W e X) esiste invece una rotazione che lo fa combaciare con la sua immagine riflessa. Questo assume una certa importanza in certi giochi in cui è possibile ruotare ma non ribaltare i pezzi, come alcuni derivati di Tetris o Rampart.
Con ognuno dei 12 pentamini si può realizzare una tassellazione del piano. In particolare, si può realizzare tassellazioni del piano a partire da un qualsiasi pentamino chirale anche senza utilizzare il suo simmetrico.
John Horton Conway ha utilizzato una diversa convenzione per attribuire i nomi ai pentamini: O invece di I, Q invece di L, R invece di F e S invece di N. La somiglianza con le lettere è molto più vaga, ma questo schema ha il vantaggio di utilizzare 12 lettere consecutive dell'alfabeto. Quando ci si riferisce al gioco della vita, si è soliti quindi parlare di pentamino-R invece che pentamino-F.
Se consideriamo solo le rotazioni di angoli multipli di 90 gradi, possiamo riconoscere le seguenti categorie di simmetria:
- L, N, P, F e Y si possono orientare in 8 modi: 4 tramite rotazione ed altri 4 aggiungendo una simmetria
- Z si può orientare in 4 modi: 2 tramite rotazione ed altri 2 aggiungendo una simmetria
- T, V, U e W si possono orientare in 4 modi tramite rotazione
- I si può orientare in 2 modi tramite rotazione
- X si può orientare in un solo modo
In generale, nell'ambito delle figure piane esiste un'ulteriore categoria: quella delle figure orientabili in 2 modi, tra di loro speculari (un esempio è dato dalla svastica); non esiste nessun pentamino in questa categoria, ed è stato verificato che non è possibile riscontrare tale tipo di simmetria in polimini con meno di 8 quadrati.
Come esempio, riportiamo le otto possibili orientazioni del pentamino Y: