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curva geometrica Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, e in particolare in geometria, l'iperbole (dal greco antico: ὑπερβολή?, hyperbolḗ, "eccesso"), insieme all'ellisse ed alla parabola, è una delle sezioni coniche.
tale che , dove tutti i coefficienti sono reali, e dove esiste più di una soluzione che definisce una coppia di punti dell'iperbole.
L'equazione generale dell'iperbole si specializza e si semplifica in alcuni casi particolari.
Se l'iperbole soddisfa le seguenti condizioni:
allora la sua equazione è del tipo:
Se invece l'iperbole soddisfa le prime due condizioni sopracitate, ma interseca l'asse delle ordinate, ha un'equazione del tipo:
In entrambi i casi gli asintoti dell'iperbole hanno equazione .
Se gli asintoti sono perpendicolari (e quindi, nel caso dell'iperbole avente gli assi coincidenti con gli assi cartesiani, se ), l'iperbole si dice iperbole equilatera. Se l'iperbole ha asintoti perpendicolari, ma non coincidenti con gli assi, allora essa sarà definita da una funzione omografica. Data un'iperbole equilatera, di asintoti e , il limite della sua funzione per che tende ad e che tende a , sarà infinito, graficamente cioè, l'iperbole non ha nessun punto di intersezione con i suoi asintoti, se non all'infinito.
Se un'iperbole equilatera viene riferita ai propri asintoti (e cioè se gli asintoti dell'iperbole coincidono con gli assi cartesiani), allora la sua equazione assume una forma molto semplice:
Se è diverso da zero, a tale curva è associata la funzione di proporzionalità inversa .
Se la curva degenera nell'insieme formato dai due assi cartesiani, individuati dall'equazione .
I vari elementi associati a un'iperbole sono:
Nel riferimento i cui assi coordinati sono paralleli agli assi di simmetria della curva, l'iperbole che interseca l'asse delle e avente centro nel punto , ha equazione
Se si applica una rotazione degli assi di 90 gradi, si ottiene l'equazione:
In entrambe le formule è detto semiasse trasverso o semiasse maggiore; è la metà della distanza tra i due rami; è chiamato semiasse non trasverso o semiasse minore. Si noti che, qualora si faccia uso dei secondi nomi, può essere maggiore di ; questa incongruenza viene risolta da alcuni testi invertendo le costanti e . In questo caso l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle viene scritta come:
La distanza tra i due fuochi è pari a dove:
L'eccentricità dell'iperbole può essere definita da:
I coefficienti angolari delle tangenti a un'iperbole condotte da un punto a essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:
con e .
Nel riferimento i cui assi cartesiani coincidono con gli asintoti dell'iperbole equilatera con centro in , essa ha equazione . Il caso generale, di un'iperbole equilatera con assi di riferimento paralleli agli asintoti dell'iperbole, è descritta da un caso particolare della cosiddetta funzione omografica di equazione . Essa ha il centro in (centro della funzione omografica). Inoltre gli asintoti di tale curva hanno equazione (per quanto riguarda l'asintoto verticale) e per l'asintoto orizzontale.
Il ramo destro ha equazioni:
Il ramo sinistro ha equazioni:
In entrambe e rappresenta il settore iperbolico.
Queste due parametrizzazioni possono essere ricavate geometricamente nel seguente modo: consideriamo tutte le rette parallele all'asintoto , ad esclusione di esso. Ogni retta di questo fascio intersecherà l'altro asintoto in un punto generico di coordinate . Tale fascio di rette improprio avrà equazione , con . Intersecando esso con l'iperbole canonica si ottiene il punto .
Scegliendo otteniamo , mentre ponendo si trova la seconda
Come l'ellisse anche l'iperbole ha funzioni parametriche trigonometriche. Per un punto dell'iperbole[1] esse sono:
Per abbiamo il ramo destro dell'iperbole, mentre per abbiamo quello sinistro.
quadrando e sommando:
dove l'ultima espressione è l'equazione canonica dell'iperbole.
A differenza delle equazioni parametriche iperboliche (che necessitano di due differenti parametrizzazioni per rappresentare entrambi i rami), utilizzando quella trigonometrica basta una sola parametrizzazione per poter disegnare l'intera iperbole.
Gli angoli dell'equazione conica e quella parametrica hanno legame:
L'equazione generale delle iperboli con semiasse maggiore dove i fuochi sono posti in posizione generica nel piano e siano ed è rappresentata dalla seguente equazione delle coniche:
I parametri sono dati dai seguenti valori:
Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica dell'iperbole: il luogo geometrico dei punti del piano tale che il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi ( e ) è costante e uguale a .
Dalla precedente equazione si eliminano le due radici con due elevamenti al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche. In tale definizione, per ottenere effettivamente un'iperbole non degenere bisogna richiedere che . Per si ottiene l'asse del segmento , mentre per si individua l'insieme del piano costituito dalla retta passante per meno il segmento privato degli estremi .
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