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un insieme misurabile la cui misura è zero Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi -nulli per la data misura .
Sia uno spazio misurabile, sia una misura su , e sia un insieme misurabile in . Se è una misura positiva, allora è nullo se e solo se . Se non è una misura positiva, allora è -nullo se è -nullo, dove è la variazione totale di ; questo è più forte che richiedere .
Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un sottoinsieme di un insieme misurabile nullo. Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.
Parlando di insiemi nulli nell'n-spazio euclideo è di solito sottinteso che la misura usata è quella di Lebesgue.
L'insieme vuoto è sempre un insieme nullo. Più in generale, ogni unione numerabile di insiemi nulli è nulla. Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo. Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi -nulli di formano un sigma-ideale su . Allo stesso modo gli insiemi -nulli misurabili formano un sigma-ideale della sigma-algebra degli insiemi misurabili. Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come insiemi trascurabili, definendo una nozione di quasi ovunque.
Per la misura di Lebesgue su , tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli. In particolare, L'insieme dei numeri razionali è un insieme nullo, nonostante sia denso in . L'insieme di Cantor è un esempio di insieme nullo non numerabile in .
Più in generale, un sottoinsieme è nullo se e solo se:
Questa condizione può essere generalizzata a , usando n-cubi al posto degli intervalli. Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni varietà topologica, anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.
Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero. La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una misura di Borel non completa.
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