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In analisi complessa, l'insieme di Julia di una funzione olomorfa consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.
Il complementare dell'insieme di Julia nel piano complesso si chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.
I nomi per questi insiemi si riferiscono ai matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou, che iniziarono a studiare la dinamica delle funzioni olomorfe all'inizio del XX secolo, considerando il caso delle iterazioni di funzioni razionali.
Consideriamo ad esempio la funzione olomorfa, dipendente da un parametro complesso :
L'insieme di tutti i valori per cui l'insieme di Julia di è connesso forma il celebre insieme di Mandelbrot. Se è fuori di questo insieme, l'insieme di Julia risulta essere omeomorfo all'insieme di Cantor.
Tramite un calcolatore è possibile rappresentare la dinamica delle iterazioni. Qui di seguito viene rappresentata la dinamica dell'iterazione per i valori:
e quindi per:
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