Gruppo simmetrico

In matematica, il gruppo simmetrico di un insieme è il gruppo formato dall'insieme delle permutazioni dei suoi elementi, cioè dall'insieme delle funzioni biiettive di tale insieme in se stesso, munito dell'operazione binaria di composizione di funzioni. Tutti i gruppi simmetrici di insiemi aventi la stessa cardinalità sono isomorfi. Tra i gruppi simmetrici di un dato numero finito n di oggetti in genere si preferisce considerare quello costituito dalle permutazioni degli interi 1, 2, ..., n e denotarlo con S_n. Questa successione di gruppi è studiata molto approfonditamente e gioca un ruolo di primaria importanza per lo studio delle simmetrie. È facile provare che il gruppo S_n ha ordine n! (si veda la voce permutazione) e che non è abeliano per n > 2.

Tra gli elementi di S_n notevole importanza hanno i k-cicli (con k ≤ n), ossia gli elementi di S_n che hanno ordine k e che hanno esattamente n-k punti fissi. Per ogni k = 1, 2, ..., n si può dimostrare che il numero dei k-cicli è ${\frac {n!}{k(n-k)!}}$ e dunque, in particolare, che il numero dei 2-cicli è esattamente ${\frac {n(n-1)}{2}}$ : queste ultime permutazioni sono dette anche trasposizioni o scambi. Diciamo che due cicli sono disgiunti se i punti di un ciclo che non sono fissi sono fissi per l'altro ciclo.

È facile dimostrare che ogni elemento di S_n si può scrivere come prodotto di cicli mutuamente disgiunti. Inoltre ogni ciclo si può decomporre anche come prodotto di trasposizioni (nella gran parte dei casi non disgiunte). Sebbene la scomposizione di un elemento di S_n in trasposizioni non sia unica, l'applicazione di S_n nel gruppo costituito da {+1,-1} munito dell'ordinario prodotto che manda un elemento in 1 se è ottenibile come prodotto di un numero pari di trasposizioni e in -1 se è ottenibile come prodotto di un numero dispari di trasposizioni è ben definita ed è un omomorfismo di gruppi. Le permutazioni la cui immagine è 1 si dicono permutazioni pari, dispari le altre.

Il nucleo di tale omomorfismo (o equivalentemente l'insieme delle permutazioni pari) è detto gruppo alterno (o alternante) e si indica con A_n. Tale sottogruppo, avendo indice 2 su S_n, ha ${\frac {n!}{2}}$ elementi ed è normale su S_n. Si può dimostrare che il gruppo S_n è isomorfo al prodotto semidiretto di A_n con il sottogruppo generato da una qualsiasi trasposizione.

Si può dimostrare che per n ≥ 5 A_n è un gruppo semplice non abeliano. Un'immediata conseguenza di ciò è che A_n non è risolubile e dunque, dato che un sottogruppo di un gruppo risolubile è risolubile, neanche S_n per n ≥ 5 può essere risolubile (è facile invece mostrare che S_n è risolubile per n ≤ 4).

Le classi di coniugio di S_n corrispondono alle decomposizioni in cicli disgiunti; in altre parole, due elementi di S_n sono coniugati se e solo se le loro decomposizioni in cicli disgiunti consistono dello stesso numero di cicli della stessa lunghezza. Per esempio, tutti i prodotti di due 2-cicli e un 3-ciclo disgiunti sono coniugati, mentre un elemento che si ottiene come prodotto di un 2-ciclo e un 3-ciclo disgiunti non è mai coniugato a un elemento che si ottiene come prodotto di due 2-cicli disgiunti.

I gruppi simmetrici $S_{n}$ , per $n\in \mathbb {N}$ , sono esempi di gruppi di Coxeter ed esempi di gruppi di riflessioni. Possono essere realizzati come gruppi di riflessioni rispetto agli iperpiani $x_{i}=x_{j},1\leq i<j\leq n$ . Inoltre Il gruppo $S_{n}$ si può realizzare come gruppo quoziente del gruppi delle trecce $B_{n}$ .

Uno dei motivi per cui sono particolarmente importanti i gruppi simmetrici è dato dal teorema di Cayley che afferma che ogni gruppo finito $G$ di ordine $n$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_{n}$ .

Il gruppo S₂ è isomorfo al gruppo ciclico con due elementi, mentre A₂ è il gruppo composto dalla sola identità.

Il gruppo S₃ è isomorfo al gruppo diedrale di ordine 6, cioè il gruppo delle riflessioni e delle rotazioni simmetriche di un triangolo equilatero, dato che queste simmetrie permutano i 3 vertici del triangolo. I 2-cicli corrispondono alle riflessioni mentre i cicli di lunghezza 3 alle rotazioni. Tale isomorfismo manda A₃ nel gruppo delle rotazioni del triangolo: dato che hanno 3 elementi, entrambi sono isomorfi al gruppo ciclico di 3 elementi.

Il gruppo S₄ è isomorfo al gruppo formato dalle rotazioni proprie del cubo. In questo caso, gli oggetti permutati sono le quattro diagonali del cubo.