Dominio semplice

I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo. La normalità di un dominio è molto importante in molte definizioni di integrale multiplo e della sua risoluzione tramite le formule di riduzione. Inoltre la presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.

Domini normali nel piano

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:

Dominio normale all'asse ${\displaystyle x}$

Dominio normale all'asse ${\displaystyle y}$

Dominio normale rispetto all'asse x

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle x}$ da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle y}$ da due funzioni della variabile ${\displaystyle x}$ continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x),f,g\in C[a,b]\}.}$

Dominio normale rispetto all'asse y

La regione è delimitata per l'asse ${\displaystyle y}$ da due valori numerici e per l'asse ${\displaystyle x}$ da due funzioni della variabile ${\displaystyle y}$ continue nell'intervallo che la delimita:

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y),f,g\in C[a,b]\}.}$

Domini normali nello spazio

Esempio di dominio normale in R3 (piano xy)

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani coordinati. Sia ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{3}}$ l'insieme considerato e ${\displaystyle D}$ la proiezione ortogonale di ${\displaystyle T}$ sul piano coordinato fissato, allora si hanno le seguenti sei possibilità:

Dominio normale rispetto al piano (x,y)

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (x,y)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle x;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle y.}$

Dominio normale rispetto al piano (y,z)

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (y,z)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle y;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle z.}$

Dominio normale rispetto al piano (z,x)

${\displaystyle T}$ è normale al piano ${\displaystyle (z,x)}$

• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle x;}$
• con ${\displaystyle D}$ normale all'asse ${\displaystyle z.}$

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" ${\displaystyle D}$ e compreso tra le funzioni ${\displaystyle a(x,y)}$e ${\displaystyle b(x,y)}$:

${\displaystyle T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ (x,y)\in D,\ a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\}}$, con ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y)\}.}$

In generale in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ il numero dei domini semplici è dato dalla relazione ${\displaystyle n!}$, ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.

Dominio normale regolare e orientamento della frontiera

Dominio normale regolare

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$. Inoltre un dominio regolare ${\displaystyle N}$ è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari ${\displaystyle N_{i}}$, a due a due privi di punti interni in comune:

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{n}N_{i}.}$

Orientamento della frontiera

Sia ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ dominio regolare, convenzionalmente si dice che ${\displaystyle \partial D}$ è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{k}\in {\mathcal {C}}^{1}}$ tali che i versori normali ${\displaystyle N_{1}(t),\dots ,N_{k}(t)}$ canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con ${\displaystyle +\partial D}$.

Lemma sulla decomposizione dei normali

Siano ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ e ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ domini normali si ha che ${\displaystyle \forall \delta ,\varepsilon >0}$ esiste una decomposizione di ${\displaystyle D}$ e di ${\displaystyle E}$ del tipo ${\displaystyle D=\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}}$ e ${\displaystyle E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}}$ tali che:

1. ${\displaystyle D_{i}}$ ed ${\displaystyle E_{i}}$ sono domini normali;
2. ${\displaystyle D_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap D_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing \quad }$ e ${\displaystyle \quad E_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap E_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing ,\quad \forall i\neq j;}$
3. ${\displaystyle \operatorname {diam} (D_{i})<\delta \quad }$ e ${\displaystyle \quad \operatorname {diam} (E_{i})<\varepsilon ,\quad \forall i=1,\dots ,n,\quad }$ dove ${\displaystyle \operatorname {diam} (A):=\sup\{\|x-y\|\ |\ x,y\in A\subset \mathbb {R} ^{n}\}}$ è il diametro del dominio.

Bibliografia

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Nicola Fusco Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.

Voci correlate

• Dominio (matematica)
• Integrale multiplo

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