Beygjuskil

Beygjuskil (einnig hverfipunktur, sjá samheiti innan stærðfræðinnar') nefnist sá punktur á ferli falls þar sem sveigja ferils breytist. Nánar tiltekið þá er talað um að ferill tvídeildanlegs falls hafi beygjuskil í tilteknum punkti þegar önnur afleiða fallsins er núll og hún breytir jafnframt um formerki í punktinum. Ef fyrsta afleiða fallsins er einnig núll í þessum punkti þá er hann nefndur láréttur beygjuskilapunktur eða stallur.

Ferill fallsins f(x) = x³ hefur beygjuskil í punktinum (0,0).

Fyrsta afleiða falls lýsir halla ferlisins, en önnur afleiða sveigju. Ef fyrsta afleiðan er vaxandi á tilteknu bili, þá er önnur afleiðan jákvæð og ferillinn sveigir upp á við. Hins vegar ef fyrsta afleiðan er minnkandi, þá er önnur afleiðan neikvæð og ferillinn sveigir niður á við.

Beygjuskil falls eru þar sem f''(x₀) = 0 svo fremi sem fallið er tvídeildanlegt í grennd um x₀. Því hefur fallið f(x) = x³ (sýnt á mynd) beygjuskil í punktinum (0,0) því f''(x) = 6x er núll þegar x jafnt og núll. Til þess að kanna hvar hann sveigir upp eða niður athugum við formerki annarrar afleiðu á bilunum ]-∞,0] og [0,∞[ eða hvort fyrsta afleiðan er vaxandi eða minnkandi á áðurnefndum bilum. Formerki annarrar afleiðu er augljóslega neikvætt á bilinu ]-∞,0] og því sveigir ferillinn niður á því bili. Þessu er svo öfugt farið á bilinu [0,∞[. Við sjáum einnig að f'(0)=0 þannig að (0,0) er stallur fyrir fallið f(x)=x³.

Tengt efni

• Söðulpunktur