Heildun

Heildun (einnig þekkt sem tegrun úr ensku og flest öllum öðrum tungumálum orðinu integration, sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reikna ákveðið heildi á tilteknu bili með því að finna fyrst stofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðan mismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,: ${\displaystyle f(x)=ax^{n}}$, á sér stofnfall,

${\displaystyle \int ax^{n}dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}$, þar sem c er óskilgreindur fasti.

(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið ‚summa‘ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnist deildun.

Skilgreining á óákveðnu heildi

Að leysa óákveðin heildi snýst um að finna stofnföll falls. Hér reynum við að gefa greinagóða skilgreiningu á óákveðnu heildi með því að kynna fyrst til sögunnar skilgreiningu á stofnfalli. Næst bendum við á mikilvægan eiginleika stofnfalla að þau halda áfram að vera stofnföll þótt fastar séu lagðir við þau. Í lokin skilgreinum við óákveðin heildi með tveimur mismunandi skilgreiningum, sem mengi, og sem fall, þar sem síðari skilgreiningin er meira notuð.

Skilgreining á stofnfalli

Látum ${\displaystyle f}$ vera raungilt fall af einni raunbreytistærð. ${\displaystyle f}$ hefur stofnfall ${\displaystyle F}$ ef ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ fyrir öll ${\displaystyle x\in {\text{dom}}(f)}$ þar sem ${\displaystyle {\text{dom}}(f)}$ táknar formengi ${\displaystyle f}$.

Tilvist margra stofnfalla

Ef ${\displaystyle F(x)}$ er stofnfall ${\displaystyle f(x)}$, þá er ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ líka stofnfall ${\displaystyle f(x)}$ þar sem ${\displaystyle C}$ er einhver rauntölufasti.

Mengi allra stofnfalla falls

Ef ${\displaystyle F(x)}$ er stofnfall ${\displaystyle f(x)}$, þá er hægt að rita öll stofnföll ${\displaystyle f(x)}$ á form ${\displaystyle F(x)+C}$ þar sem ${\displaystyle C}$ er einhver rauntölufasti.

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem mengi]

Látum ${\displaystyle f}$ vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnföll. Þá er óákveðna heildi ${\displaystyle f}$ skilgreint sem mengi allra stofnfalla ${\displaystyle f}$ og mengið er táknað á eftirfarandi máta:

${\displaystyle \int f(x)dx}$

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem fall]

Látum ${\displaystyle f}$ vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnfall ${\displaystyle F}$. Þá er óákveðna heildi ${\displaystyle f}$ skilgreint á eftirfarandi máta:

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$

þar sem ${\displaystyle C}$ er einhver rauntölufasti.

Munurinn á mengja- og fallaskilgreiningunum

Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu er oftast notuð ef átt er við óákveðið heildi. Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu tengist mengjaskilgreiningunni á óákveðnu heildinu á þann hátt að það er hægt er að stika öll stofnföll falls með framsetningunni í fallaskilgreiningunni. Þ.e.a.s. mengjaframsetningin á óákveðnu heildinu af fallinu ${\displaystyle f}$ með eitthvað stofnfall ${\displaystyle F}$ er:

${\displaystyle \underbrace {\int f(x)dx=\{F(x)+C:C\in \mathbb {R} \}} _{\text{Ef mengjaskilgreiningin er notuð}}}$

en fallaframsetningin á óákveðnu heildinu er:

${\displaystyle \underbrace {\int f(x)dx=F(x)+C} _{\text{Ef fallsskilgreiningin er notuð, hér er C bara einhver rauntölufasti}}}$.

Skilgreiningar á ákveðin heildi

Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.

Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.

Riemann heildi^[1]

Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu]

Látum ${\displaystyle P=\{a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\}}$ vera skiptingu á ${\displaystyle [a,b]}$.

Möskvastærð ${\displaystyle P}$ er skilgreind sem ${\displaystyle {\text{mesh}}(P):=\max\{t_{k}-t_{k-1}:k=1,\dots ,n\}}$.

Uppsetning

Látum ${\displaystyle f}$ vera takmarkað raungilt fall á ${\displaystyle [a,b]}$, þ.e.a.s. það er til ${\displaystyle M\geq 0}$ þ.a. ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ fyrir öll ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Látum ${\displaystyle P=\{a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\}}$ vera skipting á ${\displaystyle [a,b]}$.

Látum ${\displaystyle \Omega (f,P)=\{\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(t_{k}-t_{k-1}):x_{k}\in [t_{k-1},t_{k}],k=1,\dots ,n\}}$ vera mengi allra Riemann summa fyrir fall ${\displaystyle f}$ og skiptingu ${\displaystyle P}$.

Skilgreiningin

Fallið ${\displaystyle f}$ er Riemann-heildanlegt á ${\displaystyle [a,b]}$ ef það er til ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ þ.a. fyrir öll ${\displaystyle \epsilon >0}$ það er til ${\displaystyle \delta >0}$ þ.a. ${\displaystyle |S-r|<\epsilon }$ fyrir allar Riemann summur ${\displaystyle S\in \Omega (f,P)}$ með ${\displaystyle {\text{mesh}}(P)<\delta }$.

Ef talan ${\displaystyle r}$ er til, þá kallast hún Riemann heildi ${\displaystyle f}$ yfir ${\displaystyle [a,b]}$ og er táknuð sem ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Darboux heildi^[1]

Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ^[2].

Uppsetning

Látum ${\displaystyle f}$ vera takmarkað raungilt fall á ${\displaystyle [a,b]}$, þ.e.a.s. það er til ${\displaystyle M\geq 0}$ þ.a. ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ fyrir öll ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Látum ${\displaystyle P=\{a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b\}}$ vera skipting á ${\displaystyle [a,b]}$.

Neðri og efri Darboux summur

Skilgreinum neðri Darboux summu ${\displaystyle f}$ m.t.t. ${\displaystyle P}$ sem ${\displaystyle L(f,P):=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\inf _{x\in [t_{i-1},t_{i}]}f(x)}$.

Skilgreinum efri Darboux summu ${\displaystyle f}$ m.t.t. ${\displaystyle P}$ sem ${\displaystyle U(f,P):=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sup _{x\in [t_{i-1},t_{i}]}f(x)}$.

Neðri og efri Darboux heildi

Skilgreinum neðra Darboux heildi ${\displaystyle f}$ sem ${\displaystyle L(f):=\sup\{L(f,P):P{\text{ er skipting af }}[a,b]\}}$.

Skilgreinum efra Darboux heildi ${\displaystyle f}$ sem ${\displaystyle U(f):=\inf\{U(f,P):P{\text{ er skipting af }}[a,b]\}}$.

Skilgreiningin

${\displaystyle f}$ er Darboux heildanlegt á bili ${\displaystyle [a,b]}$ ef neðri og efri Darboux heildi ${\displaystyle f}$ eru til og ${\displaystyle L(f)=U(f)}$. Ef ${\displaystyle f}$ er Darboux heildanlegt á bili ${\displaystyle [a,b]}$, þá kallast talan ${\displaystyle L(f)=U(f)}$ Darboux heildi ${\displaystyle f}$ yfir ${\displaystyle [a,b]}$ og er táknuð sem ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Samband milli óákveðin og ákveðin heildi

Óákveðin og ákveðin heildi eru skilgreind á mismunandi máta. Hins vegar gefa heiti þeirra til kynna að þessi hugtök tengjast. Athugið að hér notumst við við fallaskilgreininguna á óákveðnum heildum til að lýsa tengslin milli óákveðin og ákveðin heildi. Meginmunur óákveðna og ákveðinna heilda er að óákveðin heildi eru föll en ákveðin heildi eru tölur. Þessi hugtök tengjast þó í gegnum undirstöðusetningu örsmæðareiknings.

Lausn óákveðins heildis með ákveðnu heildi

Í gegnum fyrri undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota ákveðin heildi til að leysa óákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall ${\displaystyle f}$ sem er samfellt á bilinu ${\displaystyle [a,b]}$. Þá segir fyrri undirstöðusetningin að eftirfarandi ákveðna heildi er eitt af stofnföllum ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$

Þá getum við leyst þetta ákveðna heildi og stungið inn í óákveðna heildið, þ.e.a.s.

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C=\int _{a}^{x}f(t)dt+C}$

þar sem ${\displaystyle C}$ er einhver rauntölufasti.

Lausn ákveðins heildis með óákveðnu heildi

Í gegnum seinni undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota óákveðin heildi til að leysa ákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall ${\displaystyle f}$ sem er Riemann-heildanlegt á bilinu ${\displaystyle [a,b]}$ og við viljum heilda fallið yfir þetta bil. Við getum leyst ákveðna heildið ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ með því að finna stofnfall fallsins með óákveðnu heildi og notað svo seinni unfirstöðusetninguna til að reikna ákveðna heildið með því að nota aðeins stofnfallið.

Þ.e.a.s. með eftirfarandi skrefum:

1. Finna stofnfall með óákveðinni heildun: ${\displaystyle G(x)=\int f(x)dx}$.
2. Reikna ákveðna heildið með seinni undirstöðusetningunni: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)}$.

Heildunarreglur

• Náttúrlega vísisfallið breytist ekki þegar að það er heildað:

  ${\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C}$

• Náttúrulegur logri heildast þannig:

  ${\displaystyle \int ln|x|dx=x\cdot ln|x|-x+C}$

• Hlutheildun er þannig:

  ${\displaystyle \int fdg=fg-\int gdf}$

• Rúmmál snúðs fallsins ${\displaystyle f(x)}$ um X-ás er fundið með reglunni:

  ${\displaystyle R=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}dx}$

Dæmi

Heildum fallið ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ með tilliti til x. Það er ritað þannig:

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x}}}dx}$

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

${\displaystyle =\int ({\sqrt {x}})^{-1}dx=\int \left(x^{\frac {1}{2}}\right)^{-1}dx=\int x^{-{\frac {1}{2}}}dx}$

Þá getum við heildað skv reglunni:

${\displaystyle \int ax^{n}dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+C}$

þannig að:

${\displaystyle \int x^{-{\frac {1}{2}}}dx={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}+C={\frac {x^{\frac {1}{2}}\cdot 2}{1}}+C=2x^{\frac {1}{2}}+C}$

svo niðurstaðan er:

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=2x^{\frac {1}{2}}+C}$

Heildunaraðferðir

• Hlutheildun
• Heildun með innsetningu
• Óeiginlegt heildi
• Trapisuregla
• Simpsonsreglan
• Rúmmál snúða