Exponentala

L' exponentala funciono es la un di funcioni la plu importanta en matematiko.

L'exponentala funciono es preske plata (klimanta lente) per negativa x's, e klimanta rapide per pozitiva x's.

Simpla aceso

Kad a es reala nombro e n es integro, lore l'« exponentala de n en bazo a » es egala a « a potenco n » sive :

exp_a(n) = a × a × ... × a (n foyo)

On povas extensar ta funciono a ne-intera nombri. On demonstras lore ke la exponentali es la reciproka funcioni di logaritmi log_a, e di altra parto ke la trigonometrika funcioni povas expresar su di simpla manero kon di exponentali.

Ta funcioni derivas su e integras su di tre simpla manero, e eventas en multa solvi di altre equacioni. Existas bazo e tala ke e^x es la reciproka funcion di naturala logaritmo ln.

Defini e proprieti

On notas l'exponentala funciono ${\displaystyle \exp \,}$ o ankore ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ (ube ${\displaystyle e}$ es la naturala bazo di logaritmi) e ta funciono povas esar definata da multa equivalanta fasoni, la un esanta kom la sumo de serio e l'altra kom limito :

${\displaystyle \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}}$

Hike ${\displaystyle n!}$ es la faktorialo di ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle x}$ riprizentas irge reala nombro o komplexa nombro.

En omna vectorala normala kompleta spaco, la precedenta serio es normale konverganto, e on povas do definar l'exponentalo di kelka elemento di algebro di Banach o ankore di kelka elemento di corpo di p-adiala nombri.

Reala exponentala funciono

Kad x es realo, lore exp(x) es strikta positiva realo.

Di altra parto la functiono exp di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ es klimata e kontinua strikte di plu ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\exp(x)=0}$ e ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\exp(x)=+\infty }$, do admisas reciproka funciono, ke es la funciono naturala logaritmo ln, ke es definita sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$.

L'exponentala funciono es derivaga e havas per derivita exp, do es nelimite derivaga. Di plu exp es konvexa.