Aljabar sigma

Dalam matematika, khususnya dalam ilmu teori peluang dan teori ukuran, aljabar-σ pada himpunan X adalah koleksi dari subhimpunan X yang dilambangkan dengan Σ yang mengandung X itu sendiri, tertutup terhadap operasi komplemen, dan tertutup terhadap operasi gabungan hingga.

Aljabar-σ merupakan salah satu contoh dari aljabar himpunan.

Definisi

Misalkan ${\displaystyle X}$ himpunan dan ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ himpunan kuasa. Keluarga bagian ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ disebut aljabar-σ, jika memenuhi sifat-sifat:

1. ${\displaystyle X\in \Sigma }$,
2. Jika ${\displaystyle A\in \Sigma }$, maka ${\displaystyle X\setminus A\in \Sigma }$,
3. Jika ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma }$, maka ${\displaystyle \bigcup _{k\in \mathbb {N} }A_{k}\in \Sigma }$.

Dengan kata lain, kita punyai ${\displaystyle \Sigma }$ tertutup atas operasi gabungan terhitung dan komplemen. Dalam teori ukuran, pasangan ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ disebut ruang terukur.

Contoh

• Untuk suatu himpunan ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \{\emptyset ,X\}}$ aljabar-σ yang terkecil dan ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ aljabar-σ yang terbesar.
• Untuk suatu ruang topologi ${\displaystyle (X,\tau )}$, aljabar Borel adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan dari ${\displaystyle \tau }$.

Referensi