HY
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Ներդաշնակ տատանումներ

Ներդաշնակ տատանումներ

From Wikipedia, the free encyclopedia

Ներդաշնակ տատանումներ
Ներդաշնակ տատանումների առանձնահատկություններըՏես նաև

Ներդաշնակ տատանումներ, ֆիզիկական մեծության պարբերական փոփոխությունները ժամանակի ընթացքում սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով։ Գրաֆիկորեն պատկերվում են սինուսոիդով կամ կոսինուսոիդով և գրի առնվում

S = A s i n ( ω t + φ 0 ) {\displaystyle S=Asin(\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle S=Asin(\omega t+\varphi _{0})}
Thumb
Ներդաշնակ տատանում

կամ

S = A c o s ( ω t + φ 0 ) {\displaystyle S=Acos(\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle S=Acos(\omega t+\varphi _{0})}

տեսքով, որտեղ

  • S {\displaystyle S} {\displaystyle S}-ը տատանվող մեծության արժեքն է ժամանակի t {\displaystyle t} {\displaystyle t} պահին,
  • A {\displaystyle A} {\displaystyle A}-ն տատանումների լայնույթն է,
  • ω {\displaystyle \omega } {\displaystyle \omega }-ն՝ անկյունային հաճախականությունը,
  • ( ω t + φ 0 ) {\displaystyle (\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle (\omega t+\varphi _{0})}-ն՝ փուլ (գումարային փուլ)
  • φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} {\displaystyle \varphi _{0}}-ն՝ սկզբնական փուլը։

Ներդաշնակ տատանումները պարբերական պրոցեսներ են։ T {\displaystyle T} {\displaystyle T}-ն պարբերություն է կոչվում, նվազագույն ժամանակահատվածը, որը հետևյալ հատկությունն ունի.

u ( t + T ) = u ( t ) : {\displaystyle u(t+T)=u(t):} {\displaystyle u(t+T)=u(t):}
T = 2 π / w = 1 / f {\displaystyle T=2\pi /w=1/f} {\displaystyle T=2\pi /w=1/f} որտեղ f {\displaystyle f} {\displaystyle f}-ը տատանումների հաճախությունն է։

Էլեկտրամագնիսականության մեջ տեսությունում հանդիպում ենք ներդաշնակ տատանումներ նկարագրող ժամանակի և կոորդինատների սկալյար և վեկտորային ֆունկցիաների։

u ( x , y , z , t ) = u ( r → , t ) = U m ( r ) c o s [ w t + ψ ( r → ) ] {\displaystyle u(x,y,z,t)=u({\vec {r}},t)=Um(r)cos[wt+\psi ({\vec {r}})]} {\displaystyle u(x,y,z,t)=u({\vec {r}},t)=Um(r)cos[wt+\psi ({\vec {r}})]}
u ( x , y , z , t ) {\displaystyle u(x,y,z,t)} {\displaystyle u(x,y,z,t)}-ն սկալյար ֆունկցիա է․
V → ( r , t ) = V m x ( r → ) c o s [ w t + ψ x ( r → ) ] i → + V m y ( r → ) c o s [ w t + ψ y ( r ) → ] j → + V m z ( r → ) c o s [ w t + ψ z ( r → ) ] k → {\displaystyle {\vec {V}}(r,t)=Vmx({\vec {r}})cos[wt+\psi x({\vec {r}})]{\vec {i}}+Vmy({\vec {r}})cos[wt+\psi y({\vec {r)}}]{\vec {j}}+Vmz({\vec {r}})cos[wt+\psi z({\vec {r}})]{\vec {k}}} {\displaystyle {\vec {V}}(r,t)=Vmx({\vec {r}})cos[wt+\psi x({\vec {r}})]{\vec {i}}+Vmy({\vec {r}})cos[wt+\psi y({\vec {r)}}]{\vec {j}}+Vmz({\vec {r}})cos[wt+\psi z({\vec {r}})]{\vec {k}}}
V → ( r → , t ) {\displaystyle {\overrightarrow {V}}({\vec {r}},t)} {\displaystyle {\overrightarrow {V}}({\vec {r}},t)}-վեկտորային ֆունկցիա է, որը կախված է երեք սկալյար ֆունկցիաներից։

Եթե մասնավորապես, վեկտորի կեմպոնենտների սկզբնական ֆազերը հավասար են իրար, ապա.

V → ( r → , t ) = V → m ( r ) c o s [ w t + ψ ( r → ) ] {\displaystyle {\vec {V}}({\vec {r}},t)={\overrightarrow {V}}m(r)cos[wt+\psi ({\vec {r}})]} {\displaystyle {\vec {V}}({\vec {r}},t)={\overrightarrow {V}}m(r)cos[wt+\psi ({\vec {r}})]}, ուր V → m = V m x i → + V m y j → + V m z k → {\displaystyle {\vec {V}}m=Vmx{\vec {i}}+Vmy{\vec {j}}+Vmz{\vec {k}}} {\displaystyle {\vec {V}}m=Vmx{\vec {i}}+Vmy{\vec {j}}+Vmz{\vec {k}}}
ψ = ψ x = ψ y = ψ z {\displaystyle \psi =\psi x=\psi y=\psi z} {\displaystyle \psi =\psi x=\psi y=\psi z}

Ներդաշնակ տատանումների տեսությունում առհասարակ օգտագործում են կոմպլեքս լայնույթների մեթոդը։ Այդ մեթոդի իմաստն այն է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխարեն օգտագործվում են էքսպոնենցիալներ։

u = U m e j ( w t + ψ ) = U m e j w t {\displaystyle u=Ume^{j(wt+\psi )}=Ume^{jwt}} {\displaystyle u=Ume^{j(wt+\psi )}=Ume^{jwt}}
U m = U m e j ψ {\displaystyle Um=Ume^{j\psi }} {\displaystyle Um=Ume^{j\psi }} - այս մեծությունները տեղեկություններ են կրում ամպլիտուդից և սկզբնական փուլից և կոչվում են կոմպլեքս ամպլիտուդ։

Էյլերի բանաձևից սկալյար ֆունկցիայի համար կարող ենք գրել.

u = R e u + R e U m e j w t {\displaystyle u=Reu+ReUme^{jwt}} {\displaystyle u=Reu+ReUme^{jwt}}
u = 1 2 ( u + u ) {\displaystyle u={\frac {1}{2}}(u+u)} {\displaystyle u={\frac {1}{2}}(u+u)}

u {\displaystyle u} {\displaystyle u} - ն համալուծ մեծություն է։

Վեկտորային ֆունկցիայի տարբերակում կլինի.

V m → = R e V → = R e V m → e j w t : {\displaystyle {\vec {Vm}}=Re{\vec {V}}=Re{\vec {Vm}}e^{jwt}:} {\displaystyle {\vec {Vm}}=Re{\vec {V}}=Re{\vec {Vm}}e^{jwt}:}
V m → = V m x e j ψ x i → + V m y e j ψ y j → + V m z e j ψ z k → {\displaystyle {\vec {Vm}}=V_{mx}e^{j\psi _{x}}{\vec {i}}+V_{my}e^{j\psi _{y}}{\vec {j}}+V_{mz}e^{j\psi _{z}}{\vec {k}}} {\displaystyle {\vec {Vm}}=V_{mx}e^{j\psi _{x}}{\vec {i}}+V_{my}e^{j\psi _{y}}{\vec {j}}+V_{mz}e^{j\psi _{z}}{\vec {k}}}
V → = 1 2 ( V → + V → ) {\displaystyle {\vec {V}}={\frac {1}{2}}({\vec {V}}+{\vec {V}})} {\displaystyle {\vec {V}}={\frac {1}{2}}({\vec {V}}+{\vec {V}})}

Կոմպլեքս լայնույթների մեթոդը զգալիորեն պարզեցնում է մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման ձևափոխությունները։ Պարզապես, դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր անդամները բազմապատկվում են e x p ( j w t ) {\displaystyle exp(jwt)} {\displaystyle exp(jwt)} -ով։ Առանձնացնելով այդ անդամը՝ ստանում ենք ժամանակակից անկախ կոմպլեքս լայնույթի վերաբերյալ հավասարում, որի լուծման արդյունքը՝ կոմպլեքս ամպլիտուդը, բավական է բազմապատկել e x p ( j w t ) {\displaystyle exp(jwt)} {\displaystyle exp(jwt)} -ով և առանձնացնել իրական մասը, որն էլ կլինի որոնելի ֆիզիկական մեծությունը։

Կիրառենք այդ մեթոդը՝ փոխարինելով Մաքսվելի առաջին և երկրորդ հավասարումների E → , H → , D → , B → , j → {\displaystyle {\vec {E}},{\vec {H}},{\vec {D}},{\vec {B}},{\vec {j}}} {\displaystyle {\vec {E}},{\vec {H}},{\vec {D}},{\vec {B}},{\vec {j}}} վեկտորները իրենց կոմպլեքս տեսքով.

E → = E → m e x p ( j w t ) , H → = H → m e x p ( j w t ) {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{m}exp(jwt),{\vec {H}}={\vec {H}}_{m}exp(jwt)} {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{m}exp(jwt),{\vec {H}}={\vec {H}}_{m}exp(jwt)} և այլն։

Տեղադրենք և ավելացնենք e x p ( j w t ) . {\displaystyle exp(jwt).} {\displaystyle exp(jwt).}

{ r o t H → m = j w D → m + j → m r o t E → m = − j w B → m {\displaystyle {\begin{cases}rot{\vec {H}}_{m}=jw{\vec {D}}_{m}+{\vec {j}}_{m}\\rot{\vec {E}}_{m}=-jw{\vec {B}}_{m}\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}rot{\vec {H}}_{m}=jw{\vec {D}}_{m}+{\vec {j}}_{m}\\rot{\vec {E}}_{m}=-jw{\vec {B}}_{m}\end{cases}}}

Ստացանք ժամանակակից անկախ հավասարումների համակարգ՝ կոմպլեքս լայնույթների վերաբերյալ։

Հեշտ է համոզվել, որ div-ով Մաքսվելի հավասարումները այս հավասարումների հետևանքն են։ Մաքսվելի երրորդ և չորրորդ հավասարումները կարելի է դուրս բերել այս երկու էլեկտրադինամիկայի հիմնական հավասարումներից, վերցնելով դրանց երկու կողմերի div-ն, հաշվի առնելով վեկտորային անալիզի d i v r o t F → = 0 {\displaystyle divrot{\vec {F}}=0} {\displaystyle divrot{\vec {F}}=0} հաստատումը և լիցքի պահպանման օրենքը d i v j → m = − j w ρ m {\displaystyle div{\vec {j}}_{m}=-jw\rho _{m}} {\displaystyle div{\vec {j}}_{m}=-jw\rho _{m}}:

Բացառելով ինդուկցիաներն ու հոսանքի խտությունը, թողնելով միայն լարվածությունները հավասարման աջ կողմը կստացվի՝

j w D → m + j → m = j w t ε 0 ( ε − j σ w ε 0 ) E → m + j → m {\displaystyle jw{\vec {D}}_{m}+{\vec {j}}_{m}=jwt\varepsilon _{0}(\varepsilon -j{\frac {\sigma }{w\varepsilon _{0}}}){\vec {E}}_{m}+{\vec {j}}_{m}} {\displaystyle jw{\vec {D}}_{m}+{\vec {j}}_{m}=jwt\varepsilon _{0}(\varepsilon -j{\frac {\sigma }{w\varepsilon _{0}}}){\vec {E}}_{m}+{\vec {j}}_{m}}:

Այստեղ ε = ε − j σ w ε 0 {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon -j{\frac {\sigma }{w\varepsilon _{0}}}} {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon -j{\frac {\sigma }{w\varepsilon _{0}}}}-կոմպլեքս դիէլեկտրիկի թափացելիությունն է։

Արդյունքում կստանանք.

{ r o t H → m = j w ε 0 ε E → m + j → m r o t E → m = − j w μ 0 μ H → m {\displaystyle {\begin{cases}rot{\vec {H}}_{m}=jw\varepsilon _{0}\varepsilon {\vec {E}}_{m}+{\vec {j}}_{m}\\rot{\vec {E}}_{m}=-jw\mu _{0}\mu {\vec {H}}_{m}\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}rot{\vec {H}}_{m}=jw\varepsilon _{0}\varepsilon {\vec {E}}_{m}+{\vec {j}}_{m}\\rot{\vec {E}}_{m}=-jw\mu _{0}\mu {\vec {H}}_{m}\end{cases}}}

Գրառման պարզության համար ε {\displaystyle \varepsilon } {\displaystyle \varepsilon } և μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu }-ի կետերը այլևս չենք նշելու։

Կոմպլեքս ամպլիտուդների մեթոդը կիրառելիս Մաքսվելի հավասարումների ցանկացած անդամ պետք է դիտարկենք կոմպլեքս հարթությունում ՝ ընդլայնելով նրա ֆիզիկական բովանդակությունը։ Այդպես՝ ε = ε ′ + j ε ″ {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '+j\varepsilon ''} {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '+j\varepsilon ''}, μ = μ ′ + j μ ″ {\displaystyle \mu =\mu '+j\mu ''} {\displaystyle \mu =\mu '+j\mu ''}

Եվ հարմոնիկ տատանումների դեպքում,

D → m = ε 0 ε E → m e − j a {\displaystyle {\vec {D}}_{m}=\varepsilon _{0}\varepsilon {\vec {E}}_{m}e^{-ja}} {\displaystyle {\vec {D}}_{m}=\varepsilon _{0}\varepsilon {\vec {E}}_{m}e^{-ja}}
a {\displaystyle a} {\displaystyle a} անկյունը D → {\displaystyle {\vec {D}}} {\displaystyle {\vec {D}}} վեկտորի E → {\displaystyle {\vec {E}}} {\displaystyle {\vec {E}}} -ից փուլային ուշացումն է.
ε ( c o s a − j s i n a ) = ε {\displaystyle \varepsilon (cosa-jsina)=\varepsilon } {\displaystyle \varepsilon (cosa-jsina)=\varepsilon }:

Ընդունենք նաև հետևյալ արժեքները ։

t g δ = ε ″ ε ′ {\displaystyle tg\delta ={\frac {\varepsilon ''}{\varepsilon '}}} {\displaystyle tg\delta ={\frac {\varepsilon ''}{\varepsilon '}}}
t g δ = μ ″ μ ′ {\displaystyle tg\delta ={\frac {\mu ''}{\mu '}}} {\displaystyle tg\delta ={\frac {\mu ''}{\mu '}}}

ուր առաջին δ {\displaystyle \delta } {\displaystyle \delta }-ն կոչվում է էլեկտրական կորուստների անկյուն, իսկ երկրորդը մագնիսական կորուստների անկյուն ։

ε = ε ′ ( 1 − j t g δ ) = | ε | e − j δ {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '(1-jtg\delta )=|\varepsilon |e^{-j\delta }} {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '(1-jtg\delta )=|\varepsilon |e^{-j\delta }}
μ = μ ′ ( 1 − j t g δ ) = j | μ | e − j δ {\displaystyle \mu =\mu '(1-jtg\delta )=j|\mu |e^{-j\delta }} {\displaystyle \mu =\mu '(1-jtg\delta )=j|\mu |e^{-j\delta }}

Ներդաշնակ տատանումները տատանումների մյուս տեսակների մեջ կարևոր տեղ են գրավում երկու պատճառով․

  1. բնության մեջ և տեխնիկայում հաճախ են հանդիպում ներդաշնակ տատանումներին նման տատանողական պրոցեսներ (օրինակ, ճոճանակի փոքր տատանումները)։
  2. համարյա անփոփոխ հատկություններով համակարգերից շատերը (օրինակ, Էլեկտրական շղթաները, որոնց ինդուկտիվությունը, ունակությունը և դիմադրությունը կախված չեն լարումից և հոսանքի ուժից) ներդաշնակ տատանումների նկատմամբ իրենց յուրահատուկ ձևով են դրսևորում, այդ համակարգերի կատարած հարկադրական տատանումները ներդաշնակ տատանումների ներգործությամբ ընդունում են վերջիններիս ձևը։

Այլ կերպ ասած՝ շատ դեպքերում ներդաշնակ տատանումները տատանումների միակ տեսակն են, որոնց ձևը վերարտադրելիս չի աղավաղվում։ Դրանով է պայմանավորված ներդաշնակ տատանումների կարևոր նշանակությունը, ինչպես նաև ոչ ներդաշնակ սպեկտրի տեսքով ներկայացնելու հնարավորությունը։

  • Տատանումներ
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 243)։ Thumb
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Ներդաշնակ տատանումների առանձնահատկությունները

Տես նաև