Վեկտորական դաշտ

Վեկտորական դաշտ, տարածական արտացոլում, որը տարածության յուրաքանչյուր կետում դնում է համապատասխանաբար այդ կետի վեկտորի սկիզբը։

Օրինակ՝ քամու վեկտորական արագությունը տրված ժամանակահատվածում տարբեր է տարբեր կետերում և կարող է նկարագրվել վեկտորական դաշտով։

Կիրառություններ

ֆիզիկայում

Ֆիզիկայում վեկտորական դաշտ տերմինը, բացի ընդհանուր նշանակությունից, ունի հատուկ նշանակություն, ընդհանուր դեպքում ֆունդամենտալ դաշտերի հանդեպ։ Դրա օգտագործման միտքը բերում է դրան, որ ֆունդամենտալ ֆիզիկական դաշտը դասակարգվում է ըստ պոտենցիալի բնույթի և դասակարգան այդպիսի տիպերից մեկը հենց վեկտորական դաշտն է։

Նշանակումը

Վեկտորական դաշտը սովորաբար նշվում է համապատասխանաբար համաձայնությամբ, որը ընդունվել է վեկտորների համար։

Ֆիզիկայում սովորաբար օգտագործում են հաստ շրիֆտ կամ տառի վրայի սլաքը, օրինակ

${\displaystyle \mathrm {E} }$ կամ ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$:

4 վեկտորի համար ընդունված է ինդեքսավոր գրառումը։ Օրինակ՝ ${\displaystyle A_{i}}$:

Մաթեմատիկական գրականությունում ընդհանուր դեպքում վեկտորների համար և վեկտորական դաշտերի համար չկան ինչ-որ ընդհանուր որոշվող հատուկ նշաններ։

Հաճախ ակնհայտ ցույց է տրվում տարածության կետից կախումը, օրինակ

${\displaystyle \ B(p)}$,

որտեղ ${\displaystyle p}$ -ն սիմվոլիկ տարածության կետի նշանակումն է

կամ

${\displaystyle B(r)}$,

որտեղ ${\displaystyle r}$-ը տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող շառավիղ վեկտորն է։

Տերմինի պատմությունը

Դաշտ տերմինը ֆիզիկա է մտցրել Մայքլ Ֆարադեյը մոտավորապես 1830 թվականին էլեկտրամագնիսական երևույթների հետազոտման ժամանակ։ Անալիտիկ տեսության ուժային դաշտերի հիմքը մշակել են Մաքսվելը, Գիբսը և Խեվիսայդը XIX դարի երկրորդ կեսին։

Վեկտորական դաշտերի մասնավոր դեպքեր

Վեկտորական դաշտը ուղիղ գծի վրա

Ցանկացած նյութանշանակալից ֆունկցիա կարելի է մեկնաբանել, որպես մեկ ծավալային վեկտորական դաշտ։

Վեկտորական դաշտերը հարթության վրա

Եթե ${\displaystyle r}$ -ը շառավիղ-վեկտոր է, որը նշված կոորդինատների համակարգում ունի ${\displaystyle r=(x,y)}$ տեսքը, ապա վեկտորական դաշտը նկարագրվում է հետևյալ վեկտոր-ֆունկցիայի տեսքով՝

${\displaystyle F(r)=(F_{x}(x,y),F_{y}(x,y))}$:

Վեկտորական դաշտերը եռաչափ տարածության մեջ

Եթե ${\displaystyle r}$-ը շառավիղ վեկտոր է, որը նշված կոորդիանտների համակարգում ունի ${\displaystyle r=(x,y,z)}$ տեսքը, ուրեմն վեկտորական դաշտը նկարագրվում է հետևյալ վեկտոր-ֆունկցիայով՝

${\displaystyle F(r)=F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)}$

Վեկտորական ֆունկցիան և նրա դիվերգենցիան՝ ներկայացված սկալյար դաշտի տեսքով (կարմիր գույնը ցույց է տալիս աճը, կանաչ գույնը` նվազումը):

Դիվերգենցիա

Դիվերգենցիան դեկարտյան կոորդինատներում գրվում է հետևյալ կերպ՝

${\displaystyle divF={dF_{x} \over dx}+{dF_{y} \over dy}+{dF_{z} \over dz}}$:

Այս արտահայտությունը ակրելի է գրել նաև օգտագործելով Լապլասի օպերատորը՝ նաբլան՝

${\displaystyle divF=\bigtriangledown \cdot F}$:

Ռոտոր

Ռոտորը ցույց է տալիս տվյալ վեկտորական դաշտի մրրկայնության աստիճանը։

${\displaystyle rotF=({dF_{z} \over dy}-{dF_{y} \over dz})i+({dF_{x} \over dz}-{dF_{z} \over dx})j+({dF_{y} \over dx}-{dF_{x} \over dy})k}$

${\displaystyle rotF=\bigtriangledown \times F}$

Գրադիենտ

Գրադիեբտը թույլ է տալիս վեկտորական դաշտից ստանալ սկալյար դաշտ։

${\displaystyle gradF=({df \over dx},={df \over dy},={df \over dz})={df \over dx}i+={df \over dy}j+={df \over dz}k}$:

Կարելի է գրել՝

${\displaystyle gradF=\nabla \ F}$:

Ֆիզիկայի տարբեր բնագավառներում կիրառվում է տարբեր ֆիզիկական դաշտերի գրադիենտի հասկացությունը։

Օրինակ,  էլեկտրաստատիկ դաշտի լարվածությունը էլեկտրաստատիկ պոտենցիալի մինուս գրադիենտն է,  գրավիտացիոն դաշտիլարվածությունը (ազատ անկման արագացումը) գրավիտացիայի դասական տեսության մեջ գրավիտացիոնալ պոտենցիալի մինուս գրադինետն է։ Դասական մեխանիկայում կոնսերվատիվ ուժերը պոտենցիալ էներգիայի մինուս գրադինետ են։

Վեկտորական գծեր

Ուժային դաշտերի համար ուժագծերը ցույց են տալիս դաշտերի ազդեցության ուղղությունը։

Եթե բավարար փոքր տիրույթում դաշտը ոչ մի տեղ չի 0 դառնում, ապա տիրույթի ցանկացած կետով անցնում է մեկ և միայն մեկ ուժագիծ։ Այն կետում, որտեղ դաշտի վեկտորը զրոյական է, դաշտի ուղղությունը որոշված չէ, ուժային գծերի պահվածքը կարող է լինել տարբեր։ Հնարավոր է այդ կետով անցնում են անվերջ շատ ուժագծեր, բայց հնարավոր է, նաև, որ ոչ մեկը չի անցնում։

Վեկտորական դաշտը կոչվում է ամբողջական, եթե նրա ինտեգրալային թեքերը որոշվում են ամբողջ բազմազանության վրա։

Գրականություն

• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Վեկտորական դաշտ» հոդվածին։