Սեղան (երկրաչափություն)

Սեղան է կոչվում այն քառանկյունը, որի երկու հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են միմյանց, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ։

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Սեղան (այլ կիրառումներ)

Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր։ (Օրինակ՝ նկարում AB-ն սեղանի փոքր հիմքն է, DC-ն՝ մեծ հիմքը)

Սեղանի ոչ զուգահեռ կողմերը կոչվում են սրունքներ։ (Օրինակ՝ նկարում AD-ն, BC-ն)

Սեղանները կարող են լինել հավասարասրուն և ուղղանկյուն։ Հավասարասրուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքները (կողմնային կողերը) հավասար են միմյանց։ Իսկ ուղղանկյուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքներից մեկը ուղղահայաց է հիմքերին^[1]։

Սեղանի տարրերի սահմանումներ

Սեղանի տարրեր

Սեղանի անկյունագծերի հատման կետը, սրունքների շարունակությունների հատման կետը և հիմքերի միջնակետերը գտնվում են միևնույն ուղղի վրա։

• Զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր․
• 2 մյուս կողմերը կոչվում են սրունքներ.
• Սրունքների միջնակետերը միացնող գիծը կոչվում է սեղանի միջին գիծ.

Սեղանների տեսակներ

• Այն սեղանները, որոնց սրունքները հավասար են կոչվում են հավասարասրուն սեղաններ^[2]։
• Այն սեղանը, որն ունի ուղիղ անկյուն, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։

• 
  Հավասարասրուն սեղան
• 
  Ուղղանկյուն սեղան

Ընդհանուր հատկություններ

• Սեղանի բարձրությունը

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

որտեղ ${\displaystyle b}$ — մեծ հիմքն է, ${\displaystyle a}$ — փոքր հիմքն է, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — սրունքներ.

• ${\displaystyle d_{1}}$և ${\displaystyle d_{2}}$անկյունագծերը, և կողմերը կապված են

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}$ արտահայտությամբ։

Անկյունագծերը արտահայտվում են՝

${\displaystyle d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$

Եվ ընդհակառակը՝

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$

Եթե հայտնի է${\displaystyle h}$ բարձրությունը,ապա

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$

Ներգծված և արտագծված շրջանագծեր

• Արտագծված շրջանագծի շառավիղը՝

${\displaystyle R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}}$

որտեղ ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c}$ — սրունք, ${\displaystyle b}$ — մեծ հիմք, ${\displaystyle a}$ — փոքր հիմք, ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$ — հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը

• Եթե ${\displaystyle a+b=2c}$, ապա հավասարասրուն սեղանին կարելի է ներգծել,

${\displaystyle r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}}$ շառավղով շրջանագիծ։

Սեղանի մակերեսը

• ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ սեղանի հիմքերի և ${\displaystyle h}$ — բարձրության միջոցով՝

${\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h}$

• ${\displaystyle m}$ միջին գծի և ${\displaystyle h}$ բարձրության միջոցով՝

${\displaystyle S=\displaystyle mh}$

• միջին գիծը հավասար է հիմքերի կիսագումարին՝

${\displaystyle m={\frac {(a+b)}{2}}}$

• սեղանի մակերեսը ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ հիմքերի և ${\displaystyle c}$ և ${\displaystyle d}$ ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

${\displaystyle S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}$

• հավասարասրուն սեղանի մակերեսը ${\displaystyle r}$ ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից ${\displaystyle \alpha }$ անկյան միջոցով՝

${\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}$

• մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

${\displaystyle S=\displaystyle 8r^{2}}$

• հավասարասրուն սեղանի մակերեսը ${\displaystyle c}$ կողմի և ${\displaystyle a}$ մեծ հիմքին կից ${\displaystyle \gamma }$ անկյան միջացով։

${\displaystyle S=(a-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(b+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }}$