Իմպուլսի պահպանման օրենք

Իմպուլսի պահպանման օրենք (շարժման քանակի պահպանման օրենք), հիմնական պահպանման օրենքներից մեկը, որի համաձայն փակ մեխանիկական համակարգի մեջ մտնող մասնիկների՝ շարժման քանակների երկրաչափական գումարը հաստատուն մեծություն Է։ Հետևաբար, փակ համակարգի համար (արտաքին ուժերի գումարը հավասար է զրո)^[1].

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}}$,

որտեղ m_i-ն համակարգի մասնիկների զանգվածներն են, v_i-ն՝ արագությունները։ p-ն՝ համակարգի շարժման քանակը։ Իմպուլսի պահպանման օրենքից բխում Է, որ ներքին ուժերը չեն կարող փոփոխել համակարգի գումարային շարժման քանակը, թեև առանձին մասնիկների շարժման քանակը կարող է փոփոխվել այդ ուժերի ազդեցությամբ։

Դրսևորման օրինակներ

Եթե համակարգը բաղկացած է սկզբնական վիճակում անշարժ մարմնից, ապա ներքին ուժերի ազդեցությամբ այդ մարմինները կարող են շարժվել միայն միմյանց հակառակ ուղղություններով՝ մարմինների զանգվածներին հակադարձ համեմատական արագություններով։ Շարժման քանակի պահպանման օրենքից բխող այս արդյունքով են բացատրվում հրացանի հետհարվածը կրակոցի ժամանակ, թիավարման պտուտակի և պրոպելլերի աշխատանքը, ռեակտիվ շարժման սկզբունքը։ Իմպուլսի պահպանման օրենքն օգտագործվում է մեխանիկականների լուծման համար, ինչպես նաև բախումներն ուսումնասիրելիս։ Բոլոր պահպանման օրենքների նման սա էլ կապված է տարածության համասեռության հետ^[2]։ Օրենքն առաջին անգամ սահմանվել է Ռ․Դեկարտի կողմից^[3]։

Դուրսբերում Նյուտոնյան մեխանիկայում

Նյոուտոնի երկրորդ օրենքի համաձայն, N թվով մարմինների համարտեղի ունի․

${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},}$

որտեղ ${\displaystyle {\vec {p}}}$-ն համակարգի իմպուլսն է։

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n},}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{n}}$-ն նյութական կետի իմպուլսն է, իսկ ${\displaystyle {\vec {F}}}$-ը բոլոր ազդուղ ուժերի համազորը, որն ազդում է համակարգի մասնիկների վրա․

${\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\quad m\neq n.}$

Այստեղ ,${\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}}$-ը n-ի վրա m-ի կողմից ազդող ուժն է, կամ ուժերի համազորը, եթե ուժերը մի քանիսն են։ ${\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}}$-ը k մասնիկի վրա ազդող ուժերի համազորն է։ Նյուտոնի երրորդ օրենքի համաձայն ${\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}}$ և ${\displaystyle {\vec {F}}_{m,n}}$ ուժերը մոդուլով հավասար են և ուղղված են հակառակ, այսինքն ${\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}}$։ Հետևապես առաջին մասի երկրորդ գումարը կլինի հավասար զրոյի։ Այսինքն, իմպուլսի ածանցյալը ըստ ժամանակի հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր ուժերի գումարին։

${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}.}$

N թվով մասնիկների համակարգի համար, որում արտաքին ուժերի գումարը զրո է․

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,}$

կամ ընդհանրապես արտաքին ուժերը բացկայում են (${\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}=0}$ բոլոր 1 ից-N k -երի համար), կունենանք․

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.}$

Ինչպես հայտնի է, եթե արտահայտության ածանցիալը հավասար է զրոյի, ուրեմն արտահայտությունը հաստատուն է։ Հետևապես,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad }$ հաստատուն վեկտոր է։

Այտեղից հետևում է^[4]․

Եթե համակարգի վրա ազդող, բոլոր արտաքին ուժերի վեկտորական գումարը հավասար է զրոյի, ապա համակարգի իմպուլսը մնում է հաստատուն։

Ռելյատիվիստական դեպք

Ազատ շարժվող ռելյատիվիստական մասնիկի համար իմպուլսի պահպանման օրենքը արտահայտվում է հետևյալ հավասարումով

${\displaystyle {\vec {P}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}}$։

Լույսի արագությանը մոտ արագություններով շարժումների դեպքում և ֆիզիկական դաշտերի համար իմպուլսի պահպանման օրենքը կարելի է գրել

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}+{\overrightarrow {G}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}}$,

տեսքով, որտեղ G-ն այն դաշտերի իմպուլսն է, որոնց միջոցով տեղի է ունենում համակարգի մասնիկների փոխազդեցությունը։

Տես նաև

• Իմպուլս
• Նյուտոնի օրենքները
• Պահպանման օրենքներ
• Համակարգի շարժման քանակի փոփոխության թեորեմ