Ֆունկցիայի էքստրեմում

Ֆունկցիայի էքստրեմում, մաթեմատիկայում տրված բազմության ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր կետն է։ Կետը, որին էքստրեմումը հասնում է, կոչվում է էքստրեմումի կետ։ Ըստ այդմ, եթե հասնում է ամենափոքր կետին, էքստրեմումի կետը կոչվում է մինիմումի կետ, իսկ եթե ամենամեծին՝ մաքսիմումի կետ։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ առանձնանում է «տեղական էքստրեմում» հասկացությունը։

Սահմանումներ

Եթե ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle x_{0}\in M^{0}}$, ապա ${\displaystyle f.}$-ի որոշման տիրույթի ներքին կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական մաքսիմում։ Եթե ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$, ապա ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geq f(x_{0}).}$։

• ։ ${\displaystyle x_{0}}$ է կոչվում ${\displaystyle f,}$ ֆունկցիայի տեղական մինիմումը, եթե գոյություն ունի ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ հարթություն, որի համար
• ։ ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geq f(x_{0}).}$։ Եթե տարբերությունը չափազանց մեծ է, ապա ${\displaystyle x_{0}}$-ն կոչվում է խիստ սահմանափակ տարածության համապատասխանաբար մինիմում կամ մաքսիմում կետը։
• ${\displaystyle x_{0}}$ է կոչվում հիմնական մաքսիմում կետ, եթե
• ։ ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});}$
• ${\displaystyle x_{0}}$ է կոչվում հիմնական մինիմում կոտ, եթե
• ։ ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).}$

${\displaystyle f(x_{0})}$ ֆունկցիայի նշանակությունը անվանում են հիմնական մաքսիմում կամ մինիմում՝ կախված իրավիճակից։ Մինիմում կամ մաքսիմում համարվող կետերը կոչվում են հիմնական էքստրեմումի կետեր։

Նշում

${\displaystyle M,}$ տարածությունում բաժանված ${\displaystyle f,}$ ֆունկցիան կարող է ունենալ և մեկից ավել հիմնական և բացարձակ էքստրեմումներ։ Օրինակ՝ ${\displaystyle f(x)=x,\;x\in (-1,1).}$

Հիմնական էքստրեմումների գոյության անհրաժեշտ պայմաններ

• Ֆերմայի թեորեմից հետևում է՝

Օրինակ, եթե ${\displaystyle x_{0}}$-ը ${\displaystyle ~f}$ ֆունկցիայի էքստրեմումի կետն է ${\displaystyle x_{0}}$ տարածքում, ապա

կա՛մ ${\displaystyle ~f'(x_{0})}$ գոյություն չունի, կա՛մ ${\displaystyle ~f'(x_{0})=0}$.

Բավարար պայմաններ հիմնական էքստրեմումների գոյության համար

• Օրինակ, եթե ${\displaystyle f\in C(x_{0})}$-ն շարունակական է ${\displaystyle x_{0}\in M^{0},}$ տիրույթում և եթե գոյություն ունեն վերջավոր կամ անվերջ միակողմանի ածանցյալներ՝ ${\displaystyle ~f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$, ապա

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0}$

պայմանում ${\displaystyle x_{0}}$-ն հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մաքսիմումի կետ։ Իսկ եթե

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,}$

ապա ${\displaystyle x_{0}}$ հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մինիմումի կետ։

Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի դեպքում ոչ դիֆերենցելի ${\displaystyle x_{0}}$ կետը

• ։ ${\displaystyle ~f'(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle ~f''(x_{0})<0}$

պայմանում ${\displaystyle x_{0}}$-ը հանդիսանում է հիմնական մաքսիմումի կետը, իսկ

${\displaystyle ~f'(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle ~f''(x_{0})>0}$

պայմանում ${\displaystyle x_{0}}$-ը հանդիսանում է հիմնական մինիմումի կետը։

• ։ ${\displaystyle f}$ ֆունկցիան ${\displaystyle x_{0}}$ կետում դիֆերենցելի է ${\displaystyle n}$ անգամ և ${\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0}$, իսկ ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})\neq 0}$։

Եթե ${\displaystyle n}$-ն հաշվելի է և ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}$, ապա ${\displaystyle x_{0}}$ հիմնական մաքսիմումի կետն է։ Եթե ${\displaystyle n}$-ն հաշվելի է և ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}$, ապա ${\displaystyle x_{0}}$-ն հիմնական մինիմումի կետն է։ Եթե ${\displaystyle n}$-ն անհաշիվ է, ապա էքստրեմում գոյություն չունի։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 559)։