![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Riemann-Zeta-Func.png/640px-Riemann-Zeta-Func.png&w=640&q=50)
Ռիմանի զետա ֆունկցիա
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ռիմանի զետա ֆունկցիան կամ Էյլեր-Ռիմանի զետա ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա, սահմանված ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, որը հետևյալ Դիրիխլեի շարքի անալիտիկ շարունակությունն է.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Riemann-Zeta-Func.png/640px-Riemann-Zeta-Func.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Riemann-Zeta-Detail.png/640px-Riemann-Zeta-Detail.png)
Այս շարքը զուգամետ է -ի միայն այն արժեքների համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.
-ի այլ արժեքների համար Ֆունկցիայի ավելի ընդհանուր ներկայացումները տրված են ստորև։ Զետա ֆունկցիան էական դեր է խաղում անալիտիկ թվերի տեսությունում և ունի բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում, հավանականությունների տեսությունում ինչպես նաև կիրառական ստատիստիկայում։
Որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիա այն առաջինը սահմանվել և ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Բեռնարդ Ռիմանի կողմից 1859 թվականին հրապարակվել է հայտնի Ռիմանի մենագրությունը՝ "Տրված թիվը չգերազանցող պարզ թվերի քանակի մասին" վերնագրով։ Այդ հոդվածում Էյլերի սահմանած ֆունկցիան ընդլայնվել է կոմպլեքս փոփոխականների համար, կառուցվել է դրա մերոմորֆ շարունակությունը ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, ապացուցվել է ֆունկցիոնալ հավասարումը ինչպես նաև ցույց է տրվել այդ ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների և պարզ թվերի բաշխման առնչությունը[2]։
Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արժեքները դրական զույգ կետերում հաշվվել են դեռ Էյլերի կողմից։ Դրանցից առաջինը՝ -ը, այսպես կոչված, Բասելի խնդրի պատասխանն է։ Հետագայում՝ 1979 թվականին Ապերին ապացուցել է
-ի իռացիոնալությունը։ Էյլերին հայտնի են եղել նաև զետա ֆունկցիայի արժեքները բացասական ամբողջ կետերում։ Դրանք ռացիոնալ թվեր են և էական դեր են խաղում մոդուլյար ձևերի տեսության մեջ։ Գոյություն ունեն Ռիմանի զետա ֆունկցիայի տարատեսակ ընդհանրացումներ. Դիրիխլեի շարքերը, Դիրիխլեի L-ֆունկցիաները ինչպես նաև մի շարք այլ L-ֆունկցիաներ։