Մաթեմատիկական վիճակագրություն

Մաթեմատիկական վիճակագրություն, մաթեմատիկայի բաժին, որի նպատակն է վիճակագրական դիտման մեթոդների մշակումը և վիճակագրական տվյալների համակարգումն ու վերլուծությունը։ Մաթեմատիկական վիճակագրություն սերտորեն կապված է հավանականությունների տեսության հետ։ Մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական խնդիրներից է պատահական մեծությունների թվային բնութագրիչների (հավանականություն, բաշխման ֆունկցիա, մաթեմատիկական սպասում, դիսպերսիա ) գնահատման մեթոդների մշակումը։ Սովորաբար, պատահական երևույթների ուսումնասիրման ժամանակ, այդ թվային բնութագրիչները լինում են անհայտ և պետք է գնահատվեն փորձի տվյալների, այսինքն՝ պատահական մեծության նկատմամբ կատարած դիտումների արդյունքների հիման վրա։ Հաճախ հայտնի է լինում դիտարկվող պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիայի տեսքը, մինչդեռ նրա պարունակած պարամետրերի արժեքները լինում են անհայտ։ Այդ պարամետրերի համար հնարավոր չափով ճիշտ և հուսալի գնահատականներ գտնելու խնդրով զբաղվում է բաշխման ֆունկցիաների պարամետրերի գնահատման բաժինը։ Մաթեմատիկական վիճակագրության կարևոր բաժիններից է Վիճակագրական վարկածների (այսինքն՝ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիայի վերաբերյալ ենթադրությունների) ստուգման տեսությունը։ Պատահական ազդակների ազդեցությամբ փոփոխվող մեծությունների միջև կախվածության հարցերն ուսումնասիրում է կոռելյացիայի տեսությունը։ Մաթեմատիկական վիճակագրության ուսումնասիրությունների շրջանակները սրանով չեն սահմանափակվում. բնագիտության և տեխնիկայի զարգացումը մշտապես առաջադրում են նոր խնդիրներ, որոնց լուծումը հանգեցնում է մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդների հետագա կատարելագործմանը։

Տվյալների հիման վրա գծային ռեգրեսիայի նկարազարդում: Ռեգրեսիոն վերլուծությունը մաթեմատիկական վիճակագրության կարևոր մասն է

Արդի մաթեմատիկական վիճակագրության զարգացմանը էապես նպաստել են Ռ. Ֆիշերի, Յու. Նեյմանի, Ա. Վալդի, խորհրդային գիտնականներ Ա. Ն. Կոլմոգորովի, Ն. Վ. Սմիռնովի և այլոց աշխատանքները։

Մաթեմատիկական վիճակագրությունը գիտություն է, որը մշակում է մաթեմատիկական մեթոդներ՝ վիճակագրական տվյալների համակարգման և գիտական և գործնական եզրակացությունների համար օգտագործելու նպատակով։

Իր շատ բաժիններում մաթեմատիկական վիճակագրությունը հիմնված է հավանականության տեսության վրա, ինչը հնարավորություն է տալիս գնահատել սահմանափակ վիճակագրական նյութի հիման վրա արված եզրակացությունների հավաստիությունն ու ճշգրտությունը (օրինակ՝ գնահատել անհրաժեշտ նմուշի չափն արդյունքներ ստանալու համար ընտրանքային հետազոտության պահանջվող ճշգրտությունը)։

Մաթեմատիկական վիճակագրությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որը մշակում է դիտողական և փորձարարական տվյալների գրանցման, նկարագրության և վերլուծության մեթոդներ՝ զանգվածային պատահական երևույթների հավանական մոդելներ կառուցելու համար^[1]։ Կախված դիտարկումների կոնկրետ արդյունքների մաթեմատիկական բնույթից, մաթեմատիկական վիճակագրությունը բաժանվում է թվերի վիճակագրության, բազմաչափ վիճակագրական վերլուծության^[2], ֆունկցիաների (գործընթացների) և ժամանակային շարքերի վերլուծության և ոչ թվային օբյեկտների վիճակագրության։

Առանձնացվում են նկարագրական վիճակագրություն, գնահատման տեսություն և վարկածների ստուգման տեսություն։ Նկարագրական վիճակագրությունը տվյալների պատկերացման և մեկնաբանման համար օգտագործվող էմպիրիկ մեթոդների մի շարք է (նմուշի բնութագրերի հաշվարկ, աղյուսակներ, գծապատկերներ, գրաֆիկներ և այլն), որոնք, որպես կանոն, չեն պահանջում տվյալների հավանական բնույթի վերաբերյալ ենթադրություններ։

Նկարագրական վիճակագրության որոշ մեթոդներ ներառում են ժամանակակից համակարգիչների հնարավորությունների օգտագործումը։ Դրանք ներառում են, մասնավորապես, կլաստերային վերլուծություն, որն ուղղված է միմյանց նման առարկաների խմբերի բացահայտմանը, և բազմաչափ մասշտաբը, որը հնարավորություն է տալիս պատկերել օբյեկտները հարթության վրա։

Գնահատման և վարկածների ստուգման մեթոդները հիմնված են տվյալների ծագման հավանական մոդելների վրա։ Այս մոդելները բաժանվում են պարամետրական և ոչ պարամետրական։ Պարամետրական մոդելներում ենթադրվում է, որ ուսումնասիրվող օբյեկտների բնութագրերը նկարագրվում են բաշխումների միջոցով, որոնք կախված են (մեկ կամ մի քանի) թվային պարամետրերից։ Ոչ պարամետրական մոդելները կապված չեն ուսումնասիրվող բնութագրերի բաշխման համար պարամետրական ընտանիքի հետ։

Ժամանակակից մաթեմատիկական վիճակագրության մեծ բաժինը վիճակագրական հաջորդական վերլուծությունն է, որի ստեղծման և զարգացման գործում հիմնարար ներդրումն է ունեցել Ա․ Ուոլդը Երկրորդ համաշխարհային պատերազմի ժամանակ։ Ի տարբերություն ֆիքսված չափի պատահական նմուշի վրա հիմնված վիճակագրական վերլուծության ավանդական (անհետևողական) մեթոդների, հաջորդական վերլուծությունը թույլ է տալիս մեկ առ մեկ (կամ, ընդհանուր առմամբ, խմբերով) ձևավորել դիտարկումների զանգված, ընդ որում դիտարկման վերաբերյալ որոշումը ընդունելու համար հիմք է ընդունվում արդեն դիտարկումների նախկինում կուտակված զանգվածը։ Հաշվի առնելով այս հանգամանքը, հաջորդական վիճակագրական վերլուծության տեսությունը սերտորեն կապված է օպտիմալ կանգառի տեսության հետ։

Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ կա վարկածների ստուգման ընդհանուր տեսություն և մեծ թվով մեթոդներ, որոնք նվիրված են կոնկրետ վարկածների ստուգմանը։

Վարկածները դիտարկվում են պարամետրերի և բնութագրերի արժեքների, միատարրության ստուգման (այսինքն՝ երկու նմուշներում բնութագրերի կամ բաշխման ֆունկցիաների համընկնման), էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիայի համաձայնեցման վերաբերյալ տվյալ բաշխման ֆունկցիայի հետ։

Մեծ նշանակություն ունի մաթեմատիկական վիճակագրության բաժինը, որը կապված է ընտրանքային հետազոտությունների անցկացման հետ, տարբեր ընտրանքային սխեմաների հատկությունների և վարկածների գնահատման և ստուգման համարժեք մեթոդներ կառուցման հետ։

Կախվածության վերականգնման խնդիրներն ակտիվորեն ուսումնասիրվել են ավելի քան 200 տարի՝ 1794 թվականին Կ․ Գաուսի կողմից նվազագույն քառակուսիների մեթոդի մշակումից ի վեր։

Տվյալների մոտարկման և նկարագրության չափումների կրճատման մեթոդների մշակումը սկսվել է ավելի քան 100 տարի առաջ, երբ Կարլ Փիրսոնը ստեղծեց հիմնական բաղադրիչի մեթոդը։ Հետագայում մշակվեցին գործոնային վերլուծությունը^[3] և բազմաթիվ ոչ գծային ընդհանրացումներ^[4]

Մեր օրերում համակարգիչները մեծ դեր են խաղում մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ։ Դրանք օգտագործվում են ինչպես հաշվարկների, այնպես էլ սիմուլյացիոն մոդելավորման համար (մասնավորապես, նմուշառման մեթոդների և ասիմպտոտիկ արդյունքների համապատասխանությունն ուսումնասիրելու համար)։  

Ծանոթագրություններ

1. Մաթեմատիկայի հավանականային բաժիններ Յու․ Դ․ Մաքսիմովի խմբ․, 2001, էջ 400-592
2. Բազմաչափ վիճակագրական անալիզ- Ս․ Ա․ Այվազյան, գլխ․ խմբ․ Յու․ Ս․ Օսիպով - Մ, Մեծ ռուսական հանրագիտարան, 2004-2017
3. Խատման Գ․ - Ժամանակակից ֆակտորական անալիզ Մ․, Վիճակագրություն, 1972, 486 էջ
4. Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovjev A. Y., Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction, Series, Lecture Notes in Computational Sciense and Engineering 58, Springer, Berlin- Heiderberg-New-York, 2007, XXIV, 340 p, 82 illus

Գրականություն

• Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл-ред Ю. В. Прохоров- М Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
• Вальд А. Последовательний анализ, пер. с англ.- М. физмат Гиз 1960.
• Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Математическая статистика, учеб. пособие- М,  МФТИ, 2004.
• Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки- М, Наука, 1976.
• Ե․ Հարությունյան, Տ․ Ղազանչյան, Ն․ Մեսրոպյան, Մ․ Հարությունյան, Մ․ Սահակյան, Հ․ Շահումյան Հավանականություն և կիրառական վիճակագրություն, ՀՀ ԳԱԱ «Գիտություն» հրատարակչություն, Երևան 2000․

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 142)։