Գնդային ֆունկցիաներ, ներկայացնում են Լապլասի հավասարման օրթոգոնալ լուծումների խմբի անկյունային մասը, արձանագրված գնդային կոորդինատներում։ Դրանք լայնորեն օգտագործվում են տիեզերական տարածքներում ֆիզիկական երևույթների ուսումնասիրման համար, որոնք սահմանափակվում են գնդային մակերեսներով և գնդային սիմետրիա ունեցող ֆիզիկական խնդիրների լուծման ժամանակ։ Գնդային ֆունկցիաները մեծ նշանակություն ունեն տեսության մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների և տեսական ֆիզիկայի , մասնավորապես, ատոմների էլեկտրոնային ուղեծրերի հաշվարկման խնդիրների, գեոիդների գրավիտացիոն դաշտի , մոլորակների մագնիսական դաշտի և մնացորդային ճառագայթման ինտենսիվության հաշվարկների համար։
Իրական գնդային ֆունկցիան Ylm , l =0…4 (վերևից ներքև), m =0…4 (ձախից աջ).
Գնդային ֆունկցիաներ հանդիսանում է գնդային կոորդինատային համակարգի Լապլասի օպերատորի սեփական ֆունկցիա (նշանակվում է
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
)։ Նրանք կազմում են երկչափ գնդային ֆունկցիայի հարթությունում օրթոնորմավորված համակարգ․
⟨
Y
l
m
;
Y
l
m
⟩
=
∬
|
Y
l
m
|
2
sin
θ
d
θ
d
φ
=
1
{\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}
⟨
Y
l
m
;
Y
l
′
m
′
⟩
=
∫
0
2
π
∫
0
π
Y
l
′
m
′
∗
Y
l
m
sin
θ
d
θ
d
φ
=
δ
l
l
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}
,
որտեղ * նշանակում է կոմպլեքս զուգակցում ,
δ
l
l
′
{\displaystyle \delta _{ll'}}
-Կրոնեկերի նշան։
Գնդային ֆունկցիան ունի
Y
l
m
=
1
2
π
e
i
m
φ
Θ
l
m
(
θ
)
{\displaystyle Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}
, տեսքը․
որտեղ
Θ
l
m
(
θ
)
{\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}
ֆունկցիան հանդիսանումէ հավասարման արմատ
և ունի հետևյալ տեսքը․
Θ
l
m
=
2
l
+
1
2
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle \Theta _{l}^{m}={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )}
Այստեղ
P
l
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}
-Լեժանդրի միավորված բազմանդամներն են, իսկ
m
!
{\displaystyle m!}
-ֆակտորիալը ։
Լեժանդրի բացասական
m
{\displaystyle m}
ունեցող միավորված բազմանդամները գրառվում են․
P
ℓ
−
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x)}
Լապլասի հավասարման լուծումը գնդաձև համակարգերում ունի այսպես կոչված գնդային գործառույթ, որը ձեռք է բերվում գնդաձև ֆունկցիայի բազմապատկմամբ շառավղային հավասարման լուծման վրա։
Գնդային ֆունկցիաների համար անկյունից կախվածության ձևը
φ
{\displaystyle \varphi }
կոմպլեքս էքսպոնենտ է։ Օգտագործելով Էյլերի բանաձևը , կարելի է մուտքագրել իրական գնդաձև ֆունկցիաները։
Երբեմն դրանք ավելի հարմար է օգտագործել պայմանավորված նրանով, որ իրական գործառույթները կարող են ավելի տեսանելի ցուցադրվել, ի տարբերություն բարդի։
Y
ℓ
m
=
{
i
2
(
Y
ℓ
m
−
(
−
1
)
m
Y
ℓ
−
m
)
m
<
0
Y
ℓ
0
m
=
0
1
2
(
Y
ℓ
−
m
+
(
−
1
)
m
Y
ℓ
m
)
m
>
0.
=
{
2
(
−
1
)
m
Im
[
Y
ℓ
|
m
|
]
m
<
0
Y
ℓ
0
m
=
0
2
(
−
1
)
m
Re
[
Y
ℓ
m
]
m
>
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}
Հակառակ ձևափոխությունը․
Y
ℓ
m
=
{
1
2
(
Y
ℓ
|
m
|
−
i
Y
ℓ
,
−
|
m
|
)
m
<
0
Y
ℓ
0
m
=
0
(
−
1
)
m
2
(
Y
ℓ
|
m
|
+
i
Y
ℓ
,
−
|
m
|
)
m
>
0.
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}}
Երբեմն իրական գնդաձև ֆունկցիաները անվանում են տարածքային, տեսերալ և սեկտորային[1] ։
m > 0 ֆունկցիաները կախված են անկյան կոսինուսից, իսկ m < 0 -սինուսից։
Y
ℓ
m
=
{
(
−
1
)
m
2
2
ℓ
+
1
4
π
(
ℓ
−
|
m
|
)
!
(
ℓ
+
|
m
|
)
!
P
ℓ
|
m
|
(
cos
θ
)
sin
(
|
m
|
φ
)
m
<
0
2
ℓ
+
1
4
π
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
m
=
0
(
−
1
)
m
2
2
ℓ
+
1
4
π
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
cos
(
m
φ
)
m
>
0
.
{\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m<0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\end{cases}}}
Ուումնասիրենք Էյլերի
α
,
β
,
γ
,
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}
անկյամբ պտտված
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
կոորդինատային համակարգը , որը ձևափոխում է
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
միավոր վեկտորը
r
′
{\displaystyle {\mathbf {r} }'}
-ի։ Ընդ որում, նոր կոորդինատային համակարգում
r
′
{\displaystyle {\mathbf {r} }'}
վեկտրի
θ
′
,
φ
′
{\displaystyle \theta ',\varphi '}
անկյունները արտահայտվում են հետևյալ եղանակով․
cos
θ
′
=
cos
θ
cos
β
+
sin
θ
sin
β
cos
(
φ
−
α
)
{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )}
ctg
(
φ
′
+
γ
)
=
ctg
(
φ
−
α
)
cos
β
−
ctg
θ
sin
β
sin
(
φ
−
α
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg} \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )}}}
Նոր կոորդինատային համակարգում
ℓ
{\displaystyle \ell }
և
m
{\displaystyle m}
գործակցով գնդային ֆունկցիան ներկայանալի է դառնալու նույն
ℓ
{\displaystyle \ell }
գործակցով, բայց տարբեր
m
{\displaystyle m}
-ով գծային կոմբինացիայի տեսքով։ Գծային կոմբինացիայում կոմպլեքս զուգակցվում են D-Վագների մատրիցաները[2] ;
D
^
(
α
,
β
,
γ
)
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
=
Y
ℓ
m
(
θ
′
,
φ
′
)
=
∑
m
′
=
−
ℓ
ℓ
[
D
m
m
′
(
ℓ
)
(
α
,
β
,
γ
)
]
∗
Y
ℓ
m
′
(
θ
,
φ
)
,
{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),}
Կոմպլեք էքսպոնենտը կարող է ներկայացվել՝ ըստ գնդային ֆունկցիաների, տարալուծման տեսքով
e
i
k
⋅
r
=
4
π
∑
l
=
0
∞
i
l
j
l
(
k
r
)
∑
m
=
−
l
l
Y
l
m
∗
(
r
|
r
|
)
Y
l
m
(
k
|
k
|
)
{\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m}\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)}
Այստեղ
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
2
(
x
)
{\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
- Բեսելի գնդային ֆունկցիան է։
Գնդային ֆունկցիաների ցանկը
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}-математические дополнения