Valószínűségi tömegfüggvény

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel.^[1] A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.

Többnyire olyan eloszlásokat vizsgálnak, amelyek természetes számokat vesznek fel értékként. A függvény minden természetes számhoz hozzárendeli annak valószínűségét. Például egy szabályos dobókockával való dobáshoz egytől hatig az egészekhez${\displaystyle {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}}$-ot, ezen kívül nullát rendel.

A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké. Mértékelméleti szempontból sűrűségfüggvény a számossági mérték szerint. Általánosabb összefüggésben súlyfüggvénynek is nevezik.

Tömegfüggvény: minden érték nemnegatív és összegük=1

Formális meghatározás

Dobókocka tömegfüggvénye

Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.

Tegyük fel, hogy X: S → A (A ${\displaystyle \subseteq }$ R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény f_X: A → [0, 1] ahol X:^[2][3]

${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{s\in S:X(s)=x\}).}$

A valós számokra kiterjesztve a definíció

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}P(X=x_{i})=p_{i},&x=x_{i}\in \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\dots \}\\0,&{\text{ különben.}}\end{cases}}}$

Jegyezzük meg: f_X valós szám, f_X(x) = 0 minden x ${\displaystyle \notin }$ X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: S → Aⁿ, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.

${\displaystyle \sum _{x\in A}f_{X}(x)=1}$

Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény f_X(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.

Valószínűségeloszlás konstrukciója

Adva legyen az ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ függvény, amit jellemeznek a következők:

• ${\displaystyle f(i)\in [0,1]}$ minden ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ esetén. Tehát ${\displaystyle f}$ minden természetes számhoz hozzárendel egy nulla és egy közötti valós számot.
• ${\displaystyle f}$ normált abban az értelemben, hogy értékeinek összege egy. Azaz

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=1}$.

Ekkor ${\displaystyle f}$ valószínűségi tömegfüggvény, és definíciója

${\displaystyle P(\{i\}):=f(i)}$ minden ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ esetén egy egyértelmű ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás, ellátva a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ eseményalgebrával.

Valószínűségeloszlásból származtatva

Adva legyen egy ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás az ${\displaystyle \mathbb {N} }$ természetes számokon, ellátva a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ eseményalgebrával. Legyenek továbbá értékei az ${\displaystyle \mathbb {N} }$ halmazból! Ekkor az ${\displaystyle f_{P}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ függvény, aminek definíciója

${\displaystyle f_{P}(i):=P(\{i\})}$

a ${\displaystyle P}$ valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan, az ${\displaystyle f_{X}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ függvény az

${\displaystyle f_{X}(i):=P(X=i)}$

definícióval az ${\displaystyle X}$ valószínűségi tömegfüggvénye.

Példák

Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}$

Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.

A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

${\displaystyle f_{n,p}(k)={\begin{cases}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\text{ ha }}k\in \{0,1,\dots ,n\}\\0&{\text{ egyébként}}\end{cases}}}$

ahol ${\displaystyle n}$ és ${\displaystyle p\in (0,1)}$ az eloszlás paraméterei ( ${\displaystyle n}$ természetes, ${\displaystyle p\in (0,1)}$ valós szám). A normáltság következik a binomiális tételből, hiszen

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{n,p}(k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=((1-p)+p)^{n}=1}$.

A geometriai eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

${\displaystyle f_{p}(k)=p(1-p)^{k}}$ ha ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\dots \}}$

egy rögzített ${\displaystyle p\in (0,1)}$ paraméterrel. A normáltság a geometriai sorból következik, mivel

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{p}(k)=p\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1}$.

Általánosabb valószínűségi tömegfüggvény

A definíció kiterjeszthető általánosabb diszkrét eloszlásokra is, ahol az értékek nem feltétlenül természetes számok, de legfeljebb megszámlálhatóan végtelen van belőlük. Legyen ${\displaystyle \Omega }$ egy ilyen halmaz, és legyen ${\displaystyle f\colon \Omega \to [0,1]}$ függvény úgy, hogy

${\displaystyle \sum _{i\in \Omega }f(i)=1}$,

ekkor ${\displaystyle f}$ alapján definiálható egy eloszlás:

${\displaystyle P(\{i\}):=f(i)}$ minden ${\displaystyle i\in \Omega }$ valós számra.

Ez az eloszlás egyértelmű az ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))}$ eseményalgebrán.^[4]

Megfordítva, ha ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás az ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))}$ eseményalgebrán, és ${\displaystyle X}$ egy valószínűségi változó, amely értékeit az ${\displaystyle \Omega }$ halmazból veszi fel, akkor az ${\displaystyle f_{P}\colon \Omega \to [0,1]}$ függvény, amelynek definíciója

${\displaystyle f_{P}(i):=P(\{i\})}$,

a ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás általánosított valószínűségi tömegfüggvénye. Továbbá az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye egy ${\displaystyle f_{X}\colon \Omega \to [0,1]}$ függvény:

${\displaystyle f_{X}(i):=P(X=i)}$^[5]

Alternatív definíció

Egyes szerzők először definiálják a ${\displaystyle (p_{i})_{i\in \Omega }}$ valós sorozatokat azzal, hogy ${\displaystyle p_{i}\in [0,1]}$ minden ${\displaystyle i\in \Omega }$ esetén és ${\displaystyle \sum _{i\in \Omega }p_{i}=1}$. Elnevezik ezeket a sorozatokat valószínűségi vektoroknak^[6] vagy sztochasztikus soroknak, vektoroknak.^[7][8]

Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény egy ${\displaystyle f\colon \Omega \to [0,1]}$ függvény, melynek definíciója

${\displaystyle f(i)=p_{i}}$ minden ${\displaystyle i\in \Omega }$ esetén. Megfordítva, minden ${\displaystyle \Omega }$n értelmezett valószínűségeloszláshoz vagy valószínűségi változóhoz tartozik egy ${\displaystyle (P(\{i\}))_{i\in \Omega }}$ fölötti valószínűségi vektor, illetve ${\displaystyle (P(X=i))_{i\in \Omega }}$ valószínűségi vektor.

Vannak továbbá szerzők, akik magát a ${\displaystyle (p_{i})_{i\in \Omega }}$ valószínűségi vektort nevezik valószínűségi tömegfüggvénynek.^[9]

További példák

Tipikus példa a diszkrét egyenletes eloszlás egy véges ${\displaystyle \Omega }$ halmazon. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

${\displaystyle f(i)={\tfrac {1}{|\Omega |}}}$ minden ${\displaystyle i\in \Omega }$ esetén.

Véletlen sorozatok segítségével is konstruálható a valószínűségi tömegfüggvény: Legyen ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \Omega }}$ pozitív valós számok legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sorozata, az ${\displaystyle \Omega }$ indexhalmazzal, azzal együtt, hogy

${\displaystyle \sum _{i\in \Omega }a_{i}<\infty }$.

Ekkor

${\displaystyle c=\sum _{i\in \Omega }a_{i}}$.

Ezzel ${\displaystyle ({\tfrac {a_{i}}{c}})_{i\in \Omega }}$ sztochasztikus sorozat, ami valószínűségi tömegfüggvényt definiált. Ha például az

${\displaystyle a_{k}:={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$ ha ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$,

sorozatot tekintjük, akkor

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{\lambda }}$ a normálási konstans.

Tehát a valószínűségi tömegfüggvény

${\displaystyle f(k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$, ami a Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye.

Valószínűségi változók mérőszámai

A valószínűségi változók és valószínűségeloszlások fontos mérőszámai meghatározhatók a valószínűségi tömegfüggvény alapján.

Várható érték

Ha ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó ${\displaystyle \mathbb {N} }$-beli értékekkel, és ${\displaystyle f_{X}}$ valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor várható értéke

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot f_{X}(k)}$.

Ez mindig létezik, de lehet végtelen is.

A várható érték általános esetben hasonlóan számítható, de nem biztos, hogy létezik. Legyen ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }$ legfeljebb megszámlálható végtelen halmaz, és vegyen fel az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó ${\displaystyle \Omega }$-beli értékeket, továbbá legyen valószínűségi tömegfüggvénye ${\displaystyle f_{X}}$, ekkor a várható érték, ha létezik, akkor

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{k\in \Omega }k\cdot f_{X}(k)}$.

Szórás

A szórásnégyzet, szórás is kiszámítható. Legyen ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó ${\displaystyle \mathbb {N} }$-beli értékekkel, és ${\displaystyle f_{X}}$ valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor szórásnégyzete

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }(k-\mu )^{2}f_{X}(k)}$,

ahol ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$ a várható érték.

Az eltolási tételt felhasználva

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-\mu ^{2}+\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}f_{X}(k)}$

Hasonlóan, ha az értékek ${\displaystyle \Omega }$-ból valók:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{k\in \Omega }(k-\mu )^{2}f_{X}(k)}$

feltéve, ha a szórás létezik.

Módusz

A diszkrét valószínűségi változó módusza a valószínűségi tömegfüggvény alapján értelmezhető: Ha az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó ${\displaystyle \mathbb {N} }$-ből vesz fel értékeket, és valószínűségi tömegfüggvénye ${\displaystyle f}$, akkor módusza ${\displaystyle k_{\text{mod}}=f(k-1)\leq f(k_{\text{mod}})\geq f(k+1)}$.

A módusz hasonlóan értelmezhető, ha a valószínűségi változó helyett valószínűségeloszlásból indulunk ki. A módusz szintén

${\displaystyle k_{\text{mod}}=f(k-1)\leq f(k_{\text{mod}})\geq f(k+1)}$.

Általában, ha ${\displaystyle \Omega }$ legfeljebb megszámlálható végtelen, és rendezhető az ${\displaystyle x_{k}}$ sorozatba úgy, hogy ${\displaystyle \dots <x_{k-1}<x_{k}<x_{k+1}<\dots }$, akkor ${\displaystyle x_{k}}$ módusz, hogyha

${\displaystyle f(x_{k-1})\leq f(x_{k})\geq f(x_{k+1})}$^[10]

Tulajdonságok

Eloszlásfüggvények

Ha ${\displaystyle f}$ valószínűségi tömegfüggvény ${\displaystyle \mathbb {N} }$-en, akkor az eloszlásfüggvény a megfelelő valószínűségi mérték szerint

${\displaystyle F_{P}(x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }f(i)}$

ahol ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ az egészrészfüggvény, azaz a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb ${\displaystyle x}$-nél (kisebb, vagy egyenlő vele).

Ha ${\displaystyle f}$ a legfeljebb megszámlálható végtelen ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ halmazon van értelmezve, akkor a valószínűségi mérték eloszlásfüggvénye

${\displaystyle F_{P}(x)=\sum _{i\leq x}f(i)}$.

Például lehet ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$, vagy ${\displaystyle A=\mathbb {Q} }$.

Valószínűségi változók összege és konvolúciója

A diszkrét valószínűségi változók esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a valószínűségi tömegfüggvények konvolúciójára. Legyenek ${\displaystyle P,Q}$ valószínűségeloszlások, és valószínűségi tömegfüggvényeik rendre ${\displaystyle f_{P}}$ és ${\displaystyle f_{Q}}$, ekkor

${\displaystyle f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}}$,

ahol ${\displaystyle P*Q}$ a ${\displaystyle P}$ és ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle f*g}$ az ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ konvolúciója. Tehát a valószínűségeloszlások konvolúciójának valószínűségi tömegfüggvénye ugyanaz, mint valószínűségi tömegfüggvényeik konvolúciója.

Ez a tulajdonság egyszerűen átvihető független valószínűségi változókra. Ha ${\displaystyle X,Y}$ független valószínűségi változók rendre az ${\displaystyle f_{X}}$ és ${\displaystyle f_{Y}}$ valószínűségi tömegfüggvényekkel, akkor

${\displaystyle f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}}$.

Tehát az összeg valószínűségi tömegfüggvénye a valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényének konvolúciója.

Valószínűséggeneráló függvény

${\displaystyle \mathbb {N} }$-en minden valószínűségeloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény. Ez polinom vagy hatványsor, melynek együtthatói rendre éppen a valószínűségi tömegfüggvény értékei. Így a definíció

${\displaystyle m_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{P}(k)t^{k}}$,

ahol ${\displaystyle f_{P}}$ egy ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan definiálható valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye is.

A valószínűséggeneráló függvények megkönnyítik a valószínűségeloszlások vizsgálatát és a velük való számolást. Így például konvolúció helyett elég szorozni, majd a valószínűséggeneráló függvényből visszakövetkeztetni. Az eloszlás fontos adataira (mint várható érték, szórás) is lehet a valószínűséggeneráló függvényből következtetni.

Jegyzetek

1. Stewart, William J.. Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press, 105. o. (2011). ISBN 978-1-4008-3281-1
2. Kumar, Dinesh. Reliability & Six Sigma. Birkhäuser, 22. o. (2006). ISBN 978-0-387-30255-3
3. Rao, S.S.. Engineering optimization: theory and practice. John Wiley & Sons, 717. o. (1996). ISBN 978-0-471-55034-1
4. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 196.
5. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 4.
6. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 13.
7. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 63.
8. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 234.
9. Georgii: Stochastik. 2009, S. 18.
10. A.V. Prokhorov.szerk.: Michiel Hazewinkel: az Encyclopaedia of Mathematics Mode cikke. Berlin: Springer-Verlag (2002). ISBN 1-4020-0609-8

Irodalom

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A: Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0-471-54897-9
• Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6
• Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1
• Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Binomiális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika