Véges halmaz

A matematikában, azon belül is elsősorban a halmazelméletben véges halmaznak nevezünk egy halmazt, ha elemszáma egy természetes szám. Véges halmaz például a

${\displaystyle \displaystyle \{2,3,5,7,11\}}$

halmaz (amelynek elemszáma 5) vagy a tetraéder éleinek halmaza (amelynek elemszáma 6). Speciálisan véges halmaz az üres halmaz is (ennek elemszáma 0).

Nem minden halmaz véges; a nem véges halmazokat végtelen halmaznak nevezzük. Végtelen halmaz például az egész számok halmaza, vagy egy tetszőleges szakasz pontjainak halmaza.

A véges halmaz elemeinek számát a halmaz számosságának (idegen szóval kardinalitásának) nevezzük.

Bár a véges halmaz halmazelméleti fogalom, a legnagyobb szerepet mégis a kombinatorikában játssza.

Formális definíció

Formális definícióval az ${\displaystyle S}$ halmazt akkor nevezzük végesnek, ha létezik

${\displaystyle \displaystyle f\colon S\to n}$

bijekció valamilyen ${\displaystyle n}$ természetes számra. Az ${\displaystyle n}$ természetes számot az ${\displaystyle S}$ halmaz számosságának nevezzük és hagyományosan így jelöljük: ${\displaystyle |S|}$.

Speciálisan véges halmaz az üres halmaz is, amelynek számossága 0.

A véges halmazok tulajdonságai

Egy véges halmaz valamennyi részhalmaza is véges, és a véges ${\displaystyle S}$ halmaz valódi részhalmazainak számossága kisebb, mint ${\displaystyle |S|}$. Azokat a halmazokat, amelyek ez utóbbi tulajdonságot bírják, Dedekind-véges halmazoknak nevezzük. A Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszernek létezik olyan modellje, amelyben vannak végtelen Dedekind-véges halmazok, de ha igaznak tételezzük fel a kiválasztási axiómát, akkor a Dedekind-véges halmazok és a véges halmazok megegyeznek.^[1]

Véges halmazok tetszőleges metszete, véges uniója és hatványhalmaza ismét csak véges.

Egy végtelen ${\displaystyle S}$ halmaz ${\displaystyle R}$ részhalmazát kofinit halmaznak nevezzük, ha ${\displaystyle S\setminus R}$ (${\displaystyle R}$ komplementere) véges. A De Morgan-azonosságokból és a fentiekből következően kofinit halmazok tetszőleges uniója véges metszete ismét csak kofinit.^[2]

Jegyzetek

1. A Dedekind finite Borel set. (Hozzáférés: 2024. november 11.)
2. Cofinite subset - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. (Hozzáférés: 2024. november 11.)

Források

• Barile, Margherita: Finite Set (angol nyelven). mathworld.wolfram.com. (Hozzáférés: 2024. november 2.)

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap